《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1. [2024·宁明县一模]二次函数$y = x^{2}+2x + 3$的顶点坐标是 （ ）
A. $(1,2)$
B. $(-1,2)$
C. $(1,4)$
D. $(-1,4)$

答案： B

2. [2024·龙湖区一模]二次函数$y=-x^{2}+bx + c$的图象的最高点是$(-1,-3)$，则$b$，$c$的值分别是 （ ）
A. $2,4$
B. $2,-4$
C. $-2,4$
D. $-2,-4$

答案： D

3. [2024·雁塔区模拟]已知二次函数$y=-kx^{2}+3kx - 1 - k$的图象与$y$轴交于正半轴，且$A(1,y_{1})$，$B(3,y_{2})$，$C(-1,y_{3})$是图象上的三个点，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是 （ ）
A. $y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B. $y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$
C. $y_{1}＞y_{3}＞y_{2}$
D. $y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$

答案： B

4. [2024·肥城市二模]若将抛物线$y = x^{2}-2x + 3$平移后得到抛物线$y = x^{2}$，下列平移方法正确的是 （ ）
A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位

答案： B

5. [2023·旌阳区期末]抛物线$y = 2x^{2}-4x - 6$关于$y$轴对称后所得到的抛物线表达式为 （ ）
A. $y=-2x^{2}+4x + 6$
B. $y = 2x^{2}+4x - 6$
C. $y = 2x^{2}+2x - 6$
D. $y=-2x^{2}-2x + 6$

答案： B

6. [2024·牡丹江]将抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$向下平移5个单位长度后，经过点$(-2,4)$，则$6a - 3b - 7=$_______.

答案： 2

7. 抛物线$y = ax^{2}-4ax - 3$（其中$a$为常数，且$a\neq0$），若当$4\leqslant x＜5$时，对应的函数值$y$恰好有3个整数值，则$a$的取值范围是________________.

答案： $\frac{2}{5}$＜a≤$\frac{3}{5}$或一$\frac{3}{5}$≤a＜−$\frac{2}{5}$
　解析:抛物线$y=ax²−4ax−3$的对称轴为$x=−\frac{−4a}{2a}=2$;
①当$a＜0$时,$4\leqslant x＜5$在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小,
∴当$x=4$时,$y$取得最大值$−3$,
　当$x=5$时,$y$取得最小值$5a−3$,
∴$5a−3＜y\leqslant−3$.
∵$y$恰好有3个整数值,为$−5,−4,−3$,
∴$−6\leqslant5α−3＜−5$,解得$−\frac{3}{5}\leqslant a＜−\frac{2}{5}$;②当$a＞0$时,$4\leqslant x＜5$在对称轴的右侧,$y$随$x$的增大而增大,
∴当$x=4$时,$y$取得最小值$−3$,
　当$x=5$时,$y$取得最大值$5a−3$,
∴$−3\leqslant y＜5a−3$.
∵$y$恰好有3个整数值,为$−3,−2,−1$,
∴$−1＜5a−3\leqslant0$,解得$\frac{2}{5}＜a\leqslant\frac{3}{5}$
　综上所述,$a$的取值范围为$\frac{2}{5}＜a\leqslant\frac{3}{5}$或$−\frac{3}{5}\leqslant a＜−\frac{2}{5}$

8. 已知二次函数$y = x^{2}-2mx + 3$（$m$是常数）.
(1)若$m = 1$，
①该二次函数图象的顶点坐标为_______；
②当$0\leqslant x\leqslant4$时，该二次函数的最小值为_______；
③当$2\leqslant x\leqslant5$时，该二次函数的最小值为_______；
(2)当$-1\leqslant x\leqslant3$时，该二次函数的最小值为1，求常数$m$的值.

答案： 解:
(1)$m=1$时,二次函数为$y=x²−2x+3=(x−1)²+2$;
　①
∴二次函数图象的顶点坐标为$(1,2)$;
　故答案为:$(1,2)$;
　②该抛物线的对称轴为直线$x=1$,
∵$α=1＞0$,
∴当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＜1$ 时,$y$随$r$的增大而减小;
∴当$0\leqslant x\leqslant4$时,该二次函数的最小值为$2$;故答案为:$2$;
　③
∵当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴当$2\leqslant x\leqslant5$时,该二次函数的最小值为$y=2²−2×2+3=3$;
　故答案为:$3$;
(2)二次函数$y=x²−2mx+3$的对称轴为直线$x=m$,
　①当$−1\leqslant m\leqslant3$时,$1=m²−2m.m+3$,解得$m_1=\sqrt{2}$,$m_2=−\sqrt{2}$(舍去);
　②当$m＜−1$时,$1=(−1)²−2m.(−1)+3$,解得$m=−\frac{3}{2}$;
　③当$m＞3$时,$1=3²−2m.3+3$,解得$m=\frac{11}{6}$(舍去).
　综上所述，常数$m$的值为$\sqrt{2}$或$−\frac{3}{2}$

9. [2024·邓州市二模]已知二次函数$y = x^{2}-2tx + 3$.
(1)当$t=-2$时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$y\geqslant3$时，直接写出$x$的取值范围；
(2)若点$A(3,6)$，$B(m,6)$是该函数图象上不同的两点，求$m$的值；
(3)当$t＞0$时，将该函数图象沿$y$轴向上或向下平移$t$个单位，若图象的最低点到$x$轴的距离为1，求$t$的值.

答案： 解:
(1)当$t=−2$时,二次函数为$y=x²+4x+3$,
　①
∵$y=x²+4x+3=(x+2)²−1$,
∴该函数图象的顶点坐标为$(−2,−1)$;
　②
∵$y=x²+4x+3=(x+2)²−1$,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线$x=−2$,
∴$x＜−2$时,$y$随$x$的增大而减小,$x＞−2$ 时,$y$随$x$的增大而增大,
　令$x²+4x+3=3$,即$x²+4x=0$,
　解得$x=0$或$x=−4$,
∴抛物线$y=x²+4x+3$与直线$y=3$的交点为$(−4,3)$,$(0,3)$,
∴当$y\geqslant3$时,$x$的取值范围是$x\leqslant−4$或$x\geqslant0$;
(2)
∵$y=x²−2ttx+3$,
∴对称轴为直线$r=−\frac{−2t}{2×1}=t$,
∵点$A(3,6)$,$B(m,6)$是该函数图象上不同的两点,
∴$6=9−6t+3$,
　解得$t=1$,
∴$\frac{3+m}{2}=t=1$,
∴$m=−1$;
(3)
∵$y=x²−2tx+3=(x−t)²+3−t²$,
∴将函数$y=x²−2tx+3$图象沿$y$轴向上平
答案解析移$t$个单位得到$y=(x−t)²+3−t²+t$,向下平移$t$个单位得到$y=(x−t)²+3−t²−t$,
∴最低点为$(t,−t²+3+t)$或$(t,−t²+3−t))$,
∴$−t²+3+t=1$或$−t²+3+t=−1$,
　解得$t=2$或$t=−1$(舍去))或$t=1+\sqrt{17}$或$t=\frac{1−\sqrt{17}}{2}$(舍去),
　$−t²+3−t=1$或$−t²+3−t=−1$,
　解得$t=1$或$t=−2$(舍去)或$t=−1+\sqrt{17}$ 或$t=\frac{−1−\sqrt{17}}{2}$(舍去),
∴将该函数图象沿$y$轴向上平移$2$个单位或$1+\sqrt{17}$个单位,或向下平移$1$个单位或$\frac{\sqrt{17}−1}{2}$个单位,图象的最低点到$x$轴的距离为$1$,
∴$t$的值为$2$或$1$或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{\sqrt{17}−1}{2}$