《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

7.[2024·青山区模拟]如图，AB为半圆的直径，O为圆心，点F，N为半圆上的两个点，且N是弧BF的中点，连接AF，BN并延长，相交于点C，过点N作DE⊥AC于点D，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CN = BN(两种证法解答)；
(2)若AB = 6，CD = 1.2，请求出BE的长.

答案：
解:
(1)证法一:如图1,连接AN,ON,
∵
∴FN9N为=$\frac{B}{N}$F的中点,
　　　　　　,
∴∠FAN=∠NAB,
∵OA=ON,
　　　　　　　　　　　　
∴∠NAB=∠ANO,
∴∠FAN=∠ANO,
∴NO//AD,
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{BN}{CN}$,
∵OA=OB,
∴BN=CN;
　证法二:如图2,连接AN,
∴
∵FN)N为=弧N0BBF,的中点,
∴∠BAN=∠CAN,
∵AB为直径，
　　　　　　　　　　　　
∴∠ANB=∠ANC=90°,
∵AN=AN,
∴△ANC≌△ANB
　(ASA),
∴BN=CN;
(2)由
(1)得
∴AB=AC,
∵AB=6,
∴AC=6,ON=OB=3,
∵CD=1.2,
∴AD=4.8,
　由
(1)得ON//AC,
∴△ONE∽△ADE,
∴$\frac{ON}{AD}$=$\frac{OE}{E}$,
∵OE=OB+BE,AE=AB+BE,
∴设BE=x,则$\frac{3}{4.8}$=$\frac{x+3}{x+6}$,
　解得r=2,
∴BE的长为2.

8.[2024·安徽模拟]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC = 6，点E为$\overset{\frown}{BC}$上一点，连接AE，且sin∠CEA = $\frac{3}{5}$.
(1)求⊙O的直径AB；
(2)若点E为$\overset{\frown}{BC}$的中点，求CE的长.

答案：
解:
(1)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵点E,B在圆上,
∴∠CEA=∠CBA,
∴sin∠CBA=sin∠CEA=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$,
∵AC=6,
∴AB=10,
∴⊙O的直径AB为10;
(2)连接OE交BC于点P,
　如图所示，
　由
(1)得直径AB=10,
　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ABC申,
BC=√AB²−AC
　　　=　$\sqrt{10²−62}$=8,
∵点E为BC的中点,
∴CE=BE,
∴OE垂直平分BC,
∴∠OPB=90°=∠ACB,CP=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴OP//AC,
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3,
∴PE=OE−OP=5−3=2,
∴CE=　$\sqrt{CP²+PE}$=　$\sqrt{4²+22}$=2$\sqrt{5}$