《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

1. [2024·龙江县模拟]如图，直线$y = \frac{3}{4}x + 3$与$x$轴，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，抛物线$y = - \frac{3}{4}x^{2} + bx + c$经过$A$，$B$两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点$D$是抛物线在第二象限内的点，过点$D$作$x$轴的平行线与直线$AB$交于点$C$，求$DC$的长的最大值.

答案： 解:
(1))
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴,y轴分别交于A,B两点,
∴A(−4,0),B(0,3),
∵抛物线y=−$\frac{3}{4}$x²+bx+c经过A,B两点,
∴{二132|4b+c=0,
∴　b=−$\frac{9}{4}$,
　　　　　　　　　　　c=3,
　　　　　　　　　　{
∴y=−$\frac{3}{4}$x²−$\frac{9}{4}$x+3;
(2)设D((m,−$\frac{3}{4}$m²−$\frac{9}{4}$m+3),
∵DC//x轴,与直线AB交于点C,
∴令$\frac{3}{4}$x+3=−$\frac{3}{4}$m²−$\frac{9}{4}$m+3,
∴x=−m²−3m,
∴c(−m²−3m,−$\frac{3}{4}$m²−$\frac{9}{4}$m+3),
∴DC=−m²−3m−m=−m²−4m
　　　=−(m+2)²+4,
∴当m=−2时,DC的长取最大值,最大值为4.

2. [2024·固原模拟]已知抛物线$y = ax^{2} - 5ax + c$与直线$y = mx + n$交于点$A( - 3,0)$和点$B(5,4)$，与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线与直线的表达式和点$C$的坐标；
(2)若点$M$是在直线$AB$上方的抛物线上一点，求$\triangle MAB$的最大面积.

答案：
解:
(1)把点A(−3,0)和点B(5,4)代入y=
　ax²−5ax+c中,
∴{92a5a+−152a5a++c=c=04,,
　解得α=−$\frac{1}{6}$,
　　　　c=4,
　　　{
∴抛物线的表达式为y=一$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4,
把点A(−3,0)和点B(5,4)代入y=m.x+n −3m+n=0　　　　m=$\frac{1}{2}$,
　中得{5m+n=4,解得n=$\frac{3}{2}$,
　　　　　　　　　　　{
∴直线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$,
　当x=0时,y=−$\frac{1}{6}$x²+$\frac{5}{6}$x+4=4,
∴C(0,4);
(2)过点M作MF⊥x轴于点F,交直线AB 于点E,过点B作BN⊥x轴于点N,
　　　　　
　设M(t,−$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$;+4),
　则Et,$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$),
　S△MAB=S△AME+SBME
　=$\frac{1}{2}$ME.AF+$\frac{1}{2}$ME.FN
　$\frac{1}{2}$ME.AN
　=$\frac{1}{2}$x(−$\frac{1}{6}$t²+$\frac{5}{6}$t+4−$\frac{1}{2}$t−−$\frac{3}{2}$)×8 =−$\frac{2}{3}$t²+$\frac{4}{3}$;+10
　　　$\frac{2}{3}$(t−1)²+$\frac{32}{3}$,
∵−$\frac{2}{3}$＜0,
∴△MAB的最大面积是$\frac{32}{3}$.