《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

3.[2024·河东区二模]如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD.
(1)求证：△ACD是等边三角形；
(2)若点F是$\overset{\frown}{AC}$的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长.

答案：
解:
(1)证明:连接OC,OD,如图，
∵AB是⊙O的直径，
　弦CD⊥AB,
∴AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD,
∴∠DAE=∠CAE,
∵OC=OB,点E为OB的
　中点，
∴OE=OB=$\frac{1}{2}$OC,
　　　　　　　　　　　　　 在Rt△OCE申,
　coS∠COE=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{1}{2}$
∴∠COE=60°,
　同理得∠DOE=60°,
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=60°,
∴△ADC为等边三角形;
(2)由
(1)可知△ACD是等边三角形,
∴∠D=∠CAD=60°,
∵AE⊥CD,
∴∠CAE=30。,
∵点F为弧AC的中点,
∴∠CAF=30°,
∵⊙O的半径为2,
∴OA=OB=2,
∵点E为OB的中点,
∴OE=1,
∴AE=OA+OE=2+1=3,
　在Rt△ACE中,∠CAE=30°,
∴AC=S=$\frac{3}{3}$=2√3,
　　　　　　　　2
　在Rt△ACG中,AC=2√3,∠CAF=30°,
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=√3;

4.[2024·马鞍山一模]如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G.
(1)求证：ED = EG；
(2)若AB = 4$\sqrt{5}$，OG = 2，求⊙O的半径.

答案：
解:
(1)证明:如图1,连接BD,
∵AB⊥CD于E,BF⊥AC
　于点F,
∴∠CFG=∠GEB=90°,
　又
∵∠CGF=∠BGE,
　　　　　　　　　　　　　　
∴C=GBE,
∵AD=AD,
∴∠C=∠DBE,
∴∠GBE=∠DBE,
∵AB⊥CD,
∴∠GEB=∠DEB=90°,
∴∠BGE=∠BDE,
∴BD=BG,
　又
∵BE⊥DG
∴ED=EG;
(2)如图2,连接OA,设OA=r,则DG=r+2,
∴ED=EG=$\frac{r+2}{2}$,
∴OE=$\frac{r−2}{2}$,
　　　　　　　　　　　　　　
∵AB⊥CD于E,AB=4√5,
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2√5,
　在Rt△OEA中,OE2+AE
　=OA2,
　　　　　　2
　即($\frac{r−2}{2}$)+20=r²,
　解得r=$\frac{14}{3}$或r=−6(舍).
　即⊙O的半径为$\frac{14}{3}$.