《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

10.[2023·巴州区期中]如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB = CD = 30 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况. 当太阳光与水平线的夹角为30°时. 试求：
（1）若两楼间的距离AC = 24 m时，甲楼的影子落在乙楼上有多高？
（2）若甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？

答案：
解:
(1)设太阳光与CD的交点为E,连接BD,如图1,
　
∵AB = CD = 30m,
BA⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABDC是矩形,
∴BD = AC = 24m,
　∠BDE = 90°,
　　　　　　　　　　　　
∵∠DBE = 30°,
　
∴在Rt△BDE中,
DE = BD · tan30° = 24×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = 8$\sqrt{3}$(m),
　
∴EC = CD - DE = 30 - 8$\sqrt{3}$(m)。
　答:甲楼的影子落在乙楼上有(30 - 8$\sqrt{3}$)m高;
(2)如图2,当太阳光照射到点C时,甲楼的影子刚好不影响乙楼，
　　　　　　
在Rt△ABC中,AB = 30m,∠ACB = 30°,
∴AC = $\frac{AB}{tan30°}$ = 30÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = 30$\sqrt{3}$(m)。
　答:两楼的距离应当为30$\sqrt{3}$m。

11.[2023·长春二模]如图，△OAD为等腰直角三角形，∠OAD = 90°，延长OA至点B，使OB = OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.
（1）求证：AF = AB；
（2）求$\frac{DF}{AF}$的值.

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
　
∴BE = DE,∠DAB = 90°。
　　又
∵OB = OD,
　
∴OE⊥BD,
　
∴∠DEO = 90° = ∠DAO。
　
∵∠DFE = ∠AFO,
　
∴∠FDE = ∠AOF。
　
∵△AOD为等腰直角三角形,
　
∴AO = AD,∠DAB = ∠OAF = 90°,
　
∴△AOF≌△ADB(ASA),
　
∴AF = AB;
(2)如图,连接BF;由
(1),
　　得OE垂直且平分BD,
　
∴DF = BF。
　
∵∠FAB = 90°,
　　　　　　　　　　　　
AB = AF,
　
∴△ABF为等腰直角三角形，
　
∴sin∠ABF = sin45° = $\frac{AF}{BF}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
　
∴$\frac{DF}{AF}$ = $\frac{BF}{AF}$ = $\sqrt{2}$。

12.[2023·永年区期末]在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且$(\tan B - \sqrt{3})(2\sin A - \sqrt{3})=0$，则△ABC是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 至少一个角是60°的三角形

答案： D

13.[2024·立山区模拟]图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：AE//BC//FG，AD = 80 cm，CD = 60 cm，CG = 30 cm，∠DAE = 15°，∠CGF = 60°，∠BCD = 120°，∠ABC = 90°. 请根据以上信息，解决下列问题.（结果精确到0.1 cm，参考数据：$\sin15^{\circ}\approx0.26$，$\cos15^{\circ}\approx0.97$，$\sqrt{3}\approx1.73$）
（1）求点D到FG所在直线的距离；
（2）求BC的长度.

答案：
解:
(1)如图,过点D作DN⊥FG于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，
　　在Rt△DCP中,
　　　　　　　　　　　　
∵CD = 60cm,
　　∠BCD = 120°,
　
∴∠DCP = 60°,
　
∴DP = CD · sin60° = 30$\sqrt{3}$(cm)。
　　在Rt△CHG中,
　
∵CG = 30cm,∠CGF = 60°,
　
∴CH = CG · sin60° = 15$\sqrt{3}$(cm),
　
∵AM//BP//FG,
　
∴∠AMP = ∠BPN = ∠N = 90°,
　　又
∵∠CHN = 90°,
　
∴四边形CHNP是矩形，
　
∴PN = CH = 15$\sqrt{3}$cm,
　
∴DN = DP + PN = 45$\sqrt{3}$(cm)≈77.9(cm);
(2)在Rt△ADM中,
　
∵AD = 80cm,∠DAM = 15°,
　
∴AM = AD · cos15°≈77.6(cm)。
在Rt△DCP中,
∵CD = 60cm,∠DCP = 60°,
∴CP = CD · cos60° = 30(cm)。
∵∠ABC = 90°,AM//BC,∠AMP = 90°,
∴四边形ABPM是矩形,AM = BP,
∴BC = BP - CP≈77.6 - 30 = 47.6(cm),故BC的长度约为47.6cm。