《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

12. 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程$a(1 - x^{2})+2bx + c(1 + x^{2}) = 0$有两个相等的实数根，且3c = a + 3b.
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA + sinB的值.

答案： 解:
(1)方程整理为(c−a)x²+2bx+a+c=0,根据题意，得A=4b²−4(c−a)(a+c)=0,
∴a²+b²=c².
　
∴△ABC为以∠C为直角的直角三角形;
(2)
∵a²+b²=c²,3c=a+3b,
　
∴(3c−3b)²+b²=c²,
　
∴2(4c−5b)(c−b)=0.
　
∵a²+b²=c²,a,b,c都大于0,
∴c≠b,
　
∴4c=5b,即b=$\frac{4}{5}$c,
　
∴a=3c−3b=$\frac{3}{5}$c.
　
∵sinA=$\frac{a}{c}$,sinB=$\frac{b}{c}$,
　　　　　　　　　　　$\frac{3}{5}$　　$\frac{4}{5}$
　
∴sinA+sinB=$\frac{a+b}{C}$=$\frac{515}{c}$$\frac{7}{5}$.

13. [2024·碑林区一模]如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，$\sin B=\frac{4}{5}$，AB = 10，点D是AB边上一点，连接CD，且BC = BD. 求BD的长.

答案： 解:在Rt△ABC中,AB=10,
　
∵sinB=$\frac{AC}{AB}$,
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$,即$\frac{AC}{10}$=$\frac{4}{5}$,
　
∴AC=8,
　
∴BC=√AB²−ACE=　$\sqrt{102−82}$=6.
　　又
∵BC=BD,
∴BD=6.

14. [逻辑推理]已知：$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，那么对于任意的锐角A，是否都有$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$呢？
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，可得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，证明$\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1$；
（2）若已知$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{3}$，利用（1）的结论求cosA的值；
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案.

答案： 解:
(1)证明:
∵在Rt△ABC申,∠C=90°,
∴a²+b²=c².
　　又
∵sinA=$\frac{a}{C}$,cosA=$\frac{6}{C}$,
　
∴sin²A+cos²A=($\frac{a}{c}$)2+($\frac{6}{c}$)²=
　　$\frac{a²+b²}{c²}$=1;
(2)
∵sin²A+cos²A=1,sinA=,
　
∴cos²A=1−($\frac{√2}{3}$)²−$\frac{7}{9}$,
　
∴cosA=$\frac{1}{3}$;
(3)
∵sinA=$\frac{a}{c}$,cosA=$\frac{6}{C}$,tanA=$\frac{a}{6}$,
∴cosA.tanA=$\frac{b}{c}$.$\frac{a}{b}$=$\frac{a}{C}$=sinA,
　　即sinA=cosA.tanA.

15. [2024·姑苏区一模]如图，在平行四边形ABCD中，BD = AD，点E为边AB的中点，若$\sin A=\frac{4}{5}$，求$\tan\angle BCE$的值.

答案：
解:过点E作EH⊥CB交CB延长线于点H,
　　　　　　
　
∵BD=AD,点E为边AB的中点,
　
∴DE⊥AB,
　
∵sinA=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{4}{5}$,
　
∴令DE=4x,则AD=5x,
　
∴AE=　$\sqrt{AD−DE2}$=3x,
∴BE=AE=3x,
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴BC=AD=5x,BC//AD,
　
∴∠EBH=∠A,
∴sin∠EBH=$\frac{EH}{EB}$=$\frac{4}{5}$,
∵BE=3x,
∴EH=$\frac{12}{5}$x,
　
∴BH=$\frac{12}{5}$EH=x,$$\s.qr2$$\frac{9}{5}$I,　　∴CH=BC+BH=$\frac{34}{5}$x,　　∴tan∠BCE=$\frac{EH}{CH}$=$\frac{6}{17}$.

16. [2023·阎良区模拟]如图，在△ABC中，AC = 12，∠C = 45°，∠B = 120°，求BC的长.

答案：
解:过点A作AD⊥BC,交
CB的延长线于点D,则
　　∠ADC=90°,
　　　　　　　　　　　　　　 在Rt△ADC中,∠C=45°,
　
∴AD=DC,根据勾股定理，
　　可得AD²+DC2=AC²,
　　即2AD²=AC²=122,
　　解得AD=DC=6√2,
　
∵∠ABC=120°,
∴∠ABD=60°,∠BAD=
　　30°,
　　在Rt△ABD中,设BD=x,则AB=2x,
　　根据勾股定理，可得AD²+DB=AB2,
　　即(6√2)²+x²=(2x)²,
　　解得x=2√6,即BD=2√6,
　
∴BC=DC−DB=6√2−2$\sqrt{6}$