《2025年细解巧练九年级数学下册北师大版》

5.[2024·包头]如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE＞BE)，连接OC，CE，且∠BOC = 2∠BCE.
(1)如图1，若BE = 1，CE = $\sqrt{5}$，求⊙O的半径；
(2)如图2，若BD = 2OE，求证：BD//OC.（请用两种证法解答）

答案：
解:
(1)如图1中,过点O作OH⊥BC于点H.
∵OC=OB,OH⊥BC,
∴∠COH=∠BOH,CH=BH,
∵∠BOC=2∠BCE,
∴∠BOH=∠BCE,
∵∠BOH+∠OBH=90°,
∴∠BCE+∠OBH=90°,
∴∠CEB=90°,
∴BC=　$\sqrt{EC+EB}$=√5+ī=√6,
∴CH=BH=2'
∵cos∠OBH=$\frac{BH}{OB}$　$\frac{EB}{BC}$,
　　廷
∴$\frac{2}{OB}$=$\frac{1}{6}$,
∴OB=3,
∴⊙0的半径为3;
　　　 　　
　　　　　　　　　第5题图
(2)证法一:如图2中,过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK,
∵BD=2OE,
∴OE=BK,
∵∠CEO=∠OKB=90°,OC=OB,
∴R;△OEC≌Rt△BKO(HL),
∴∠COE=∠OBK,
∴OC//BD;
　证法二:如图2中，过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK,
∵BD=2OE,
∴OE=BK,
∵COSCOE=$\frac{OE}{OC}$,cO√OBK=$\frac{BK}{OB}$,OC=OB,
∴Cos∠COE=cOs∠OBK,
∴∠COE=∠OBK,
∴OC//BD.

6.[2024·碑林区模拟]如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，CE⊥AB于点E，BD与AC交于点G，与CE交于点F.
(1)求证：CG = CF；
(2)若cos∠ABC = $\frac{3}{5}$，AC = 16，求EF的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵D为AC的中点,
∴A)D=C)D,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠CBD+∠CGF=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,
∴∠ABD+∠BFE=90°,
∵∠BFE=∠CFG,
∴∠ABD+∠CFG=90°,
∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF;
(2)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∵cos∠ABC=$\frac{3}{5}$,
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$,
　设BC=3x,则AB=5x,
　由勾股定理得AC=4x,
∵AC=16,
∴4x=16,
　解得x=4,
∴BC=12,AB=20,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AC.BC=$\frac{1}{2}$AB.CE,
∴16×12=20CE,
　解得CE=$\frac{48}{5}$,
　由
(1)知∠CGF=∠CFG,
　又
∵∠CGF+∠AGB=180°,
　∠CFG+∠CFB=180°,
∴∠AGB=∠CFB,
∵∠ABD=∠CBD,
∴△AGB∽△CFB,
∴$\frac{AG}{CF}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{20}{12}$=$\frac{5}{3}$,
　设AG=5m,则CF=3m,
∴CG=CF=3m,
∵AC=AG+CG=16,
∴5m+3m=16,解得m=2,
∴CF=6,
∴EF=CE−CF=$\frac{48}{5}$−6=$\frac{18}{5}$.