《2025年点拨训练七年级数学下册华师大版》

综合与实践

【项目主题】三角形的角平分线与高的夹角问题.

【项目内容】数学活动课上，老师给兴趣小组的同学们布置了一道探究题：在△ABC中，∠ABC＜∠ACB，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，CF//AD，交直线AE于点F. 猜想∠AFC与∠ABC和∠ACB的数量关系. 同学们通过画图、计算等方法进行推理，得到了有关结果.
“智慧小组”：如图①，∠ABC＜∠ACB＜90°，设置表格，通过给∠ABC，∠ACB赋值求∠AFC的值，得到几组对应值，如下表.
|∠ACB/°|60|70|60|80|80|
|∠ABC/°|10|20|30|20|40|
|∠AFC/°|25|a|15|30|20|
“创新小组”：若∠ABC＜90°＜∠ACB，根据题目条件，作出图②.
“奋斗小组”：通过推理发现，当∠ACB = 90°时，点C，E，F重合，故∠ACB≠90°.
　　　　　　　　　　　　　　

【实践解决】
(1)如图①，根据“智慧小组”的表格，可得a = ________，猜想∠AFC与∠ABC，∠ACB的数量关系为__________________.
(2)若∠ABC＜90°＜∠ACB，请你根据图②，判断(1)中∠AFC与∠ABC，∠ACB的数量关系是否依然成立. 若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们所满足的数量关系，并说明理由.
(3)通过本次活动说出一条在解决此类数学问题中你得到的启示.

答案： 综合与实践解:
(1)25;∠AFC=$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠ABC)
(2)不成立,∠AFC=180°+$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB.理由:
∵AE⊥BC,
∴∠BEA=90°,
∴∠BAE=90°−∠ABC.又
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC−∠ACB),
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=90°−∠ABC−$\frac{1}{2}$(180°−∠ABC−∠ACB)=$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠ABC).
∵CF//AD,
∴∠CFE=∠DAE,
∴∠AFC=180°−∠CFE=180°−∠DAE=180°−$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠ABC)=180°+$\frac{1}{2}$∠ABC−$\frac{1}{2}$∠ACB.
(3)解决此类数学问题要全面，要分类讨论.(答案不唯一，合理即可)