《2025年点拨训练七年级数学下册华师大版》

2.[2024·重庆期末]如果二元一次方程组中含有未知数的比例，那么可以用参数换元法，如解方程组$\begin{cases}x:y = 1:5,①\\7x + y = 6,②\end{cases}$设$x = a$，则$y = 5a$，代入②中，得$12a = 6$，解得$a = 0.5$，则$5a = 2.5$，所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 0.5,\\y = 2.5.\end{cases}$
请用这种方法解下列方程组：
（1）$\begin{cases}3x:4y = 5:8,①\\x - 4y = -19;②\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1;①\\\frac{1}{2}x + y = 5.②\end{cases}$

答案： 解：
(1)设3x = 5a，则4y = 8a，所以x = $\frac{5}{3}a$，y = 2a，
代入②中，得$\frac{5}{3}a - 8a = - 19$，解得a = 3，
所以$\frac{5}{3}a = 5$，2a = 6，所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y = 6\end{cases}$.
(2)设x = 2a，则y = 4(1 - a)，
代入②中，得a + 4(1 - a)=5，解得a = - $\frac{1}{3}$，
所以2a = - $\frac{2}{3}$，4(1 - a)=$\frac{16}{3}$，所以方程组的解为$\begin{cases}x = - \frac{2}{3}\\y = \frac{16}{3}\end{cases}$.

3.[2024·周口十九中月考]小智在解方程组$\begin{cases}x + y + 3 = 10,①\\4(x + y)-y = 25②\end{cases}$时发现，可将①变形为$x + y = 7$，代入②，可以很轻松地解出这个方程组.小智发现的这种方法叫做“整体代入法”.
（1）按照小智的方法，求得这个方程组的解为_______；
（2）用整体代入法解方程组$\begin{cases}\frac{2y - 4x}{3}+2x = 4,\\y - 2x + 3 = 6.\end{cases}$

答案： 解：
(1)$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$
(2)整理方程组，得$\begin{cases}\frac{2(y - 2x)}{3}+2x = 4,①\\y - 2x = 3,②\end{cases}$
把②整体代入①，得$\frac{2×3}{3}+2x = 4$，解得x = 1，
把x = 1代入②，得y - 2×1 = 3，解得y = 5，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 5\end{cases}$.

4.[2024·洛阳西工区期中]乐乐在解方程组$\begin{cases}3(m + 5)-2(n + 3)= -1,\\3(m + 5)+2(n + 3)=7\end{cases}$时，采用了一种“整体换元”的解法：把$m + 5$，$n + 3$分别看成一个整体，设$m + 5 = x$，$n + 3 = y$，则原方程组可化为$\begin{cases}3x - 2y = -1,\\3x + 2y = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$即$\begin{cases}m + 5 = 1,\\n + 3 = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -4,\\n = -1.\end{cases}$
运用“整体换元”的方法，回答下列问题：
（1）方程组$\begin{cases}3x - 2y = 1,\\9x - 2y = 19\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}3(a + b)-2(a - b)=1,\\9(a + b)-2(a - b)=19\end{cases}$的解是________；
（2）解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{3}+\frac{x - y}{5}=4,\\\frac{x + y}{3}-\frac{x - y}{5}= -2.\end{cases}$

答案： 解：
(1)$\begin{cases}a = \frac{7}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{cases}$
(2)令x + y = p，x - y = q，
则原方程组可化为$\begin{cases}\frac{p}{3}+\frac{q}{5}=4\\\frac{p}{3}-\frac{q}{5}=-2\end{cases}$
解得$\begin{cases}p = 3\\q = 15\end{cases}$，即$\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 15\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = - 6\end{cases}$.