《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

模型三：倍长中线模型
3.【阅读理解】(1)如图①，在$\triangle ABC$中，若$AB = 10$，$AC = 6$，求$BC$边上的中线$AD$的取值范围，解决此问题可以用如下方法：延长$AD$到点$E$，使得$AD = DE$，再连接$BE$，把$AB$，$AC$，$2AD$集中在$\triangle ABE$中，利用三角形三边关系求中线$AD$的取值范围。
【解决问题】(2)如图②，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$边上的中点，$DE\perp DF$，$DE$交$AB$于点$E$，$DF$交$AC$于点$F$，连接$EF$。求证：$BE + CF＞EF$。
【问题拓展】(3)如图③，在$\triangle ABC$中，点$D$是$BC$边上的中点，延长$DA$至点$E$，使得$AC = BE$。求证：$\angle CAD=\angle BED$。

答案：
$（1）$解：
∵$AD $为$△ABC $的中线，
∴$BD = CD. $
∵$CD = BD，$$∠ADC = ∠EDB，$$AD = ED，$
∴$△ADC≌△EDB（SAS），$
∴$AC = EB = 6. $
∵$AB - BE $＜ AE ＜ AB + BE，AE = 2AD，
∴4 ＜ 2AD ＜ 16，
∴2 ＜ AD ＜ 8. （2）证明：如图①，延长 FD 到点 G，使 GD = FD，连接 BG，EG.
∵D 为 BC 的中点，
∴BD = CD.
∵CD = BD，∠FDC = ∠GDB，FD = GD，
∴△FDC≌△GDB（SAS），
∴FC = GB.
∵DE⊥DF，FD = GD，
∴EF = EG. 在△BEG 中，EG ∴BE + BG >$ EF，$即$ BE + CF ＞ EF. （3）$证明：如图$②，$延长$ AD $到点$ G，$使$ DG = AD，$连接$ BG. $
∵点$ D $是$ BC $边上的中点，
∴$BD = CD. $
∵$CD = BD，$$∠ADC = ∠GDB，$$AD = GD，$
∴$△ADC≌△GDB（SAS），$
∴$AC = GB，$$∠CAD = ∠G. $
∵$BE = AC，$
∴$BE = BG，$
∴$∠BED = ∠G = ∠CAD，$
∴$∠CAD = ∠BED.　　　$$ 　　　　$