《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

21.(10 分)[模型观念]某公司计划明年在甲、乙两个电视台播放总时长为 300 分钟的广告，已知甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟. 该公司的广告总费用为 9 万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来 0.3 万元/分钟和 0.2 万元/分钟的收益，求该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟. 预计甲、乙两个电视台明年为该公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益.

答案： 解:设公司在甲电视台和乙电视台播放广告的时间分别为x分钟和y分钟.由题意，得$\begin{cases}x + y = 300 \\ 500x + 200y = 90000\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 100 \\ y = 200\end{cases}$，即该公司在甲电视台播放100分钟广告，在乙电视台播放200分钟广告.此时公司收益为100×0.3 + 200×0.2 = 70(万元)，所以甲、乙两个电视台明年为该公司所播放的广告将给该公司带来70万元的总收益.

$22.(10 $分$)$如图，在$△ABC $中，$AD $平分$∠BAC，$$P $为线段$ AD $上的一点，过点$ P $作$ PE⊥AD $交线段$ BC $的延长线于点$ E.$
$(1)$若$∠B = 34°，$$∠ACB = 86°，$求$∠E $的度数$.$
$(2)$猜想$∠E $与$∠B，$$∠ACB $之间的数量关系，并给出证明$.$

答案： 解:
(1)
∵∠B=34°,∠ACB=86°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴∠PDE=∠B+∠BAD=64°.
∵PE⊥AD,
∴∠E=90°−∠PDE=26°.　
(2)∠E=$\frac{1}{2}$(∠ACB一∠B).证明如下:设∠B=x,∠ACB=y.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°−x−y,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$(180°−x−y),
∴∠PDE=∠B+∠BAD=x+$\frac{1}{2}$(180°−x−y)=90°+$\frac{1}{2}$(x−y).
∵PE⊥AD,
∴∠PDE+∠E=90°,
∴∠E=90°−[90°+$\frac{1}{2}$(x−y)]=$\frac{1}{2}$(y−x)=$\frac{1}{2}$(∠ACB−∠B).