《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$18.(12$分$)$如图，已知在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC，$点$D，$$E$分别在边$AB，$$AC$上，且$AD=AE，$连接$BE，$$CD$交于点$F.$
$(1)$判断$∠ABE$与$∠ACD$的数量关系，并说明理由$.$
$(2)$求证：过点$A，$$F$的直线垂直平分线段$BC.$

答案： $(1)$解：$∠ABE =∠ACD. $理由：在$△ABE$和$△ACD$中，${AB = AC，∠A =∠A，AE = AD}，$
∴$△ABE≌△ACD(SAS)，$
∴$∠ABE = ∠ACD. (2)$证明：
∵$AB = AC，$
∴$∠ABC =∠ACB. $由$(1)$可知$∠ABE =∠ACD，$
∴$∠FBC =∠FCB，$
∴$FB = FC. $
∵$AB = AC，$
∴点$A，$$F$均在线段$BC$的垂直平分线上，即过点$A，$$F$的直线垂直平分线段$BC.$

$19.(12$分$)$如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90°，$$BD$是$△ABC$的一条角平分线，点$O，$$E，$$F$分别在$BD，$$BC，$$AC$上，且四边形$OECF$是正方形$.$
$(1)$求证：点$O$在$∠BAC$的平分线上$.$
$(2)$若$AC=5，$$BC=12，$求$OE$的长$.$

答案：

(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF是正方形，
∴OE = EC = CF = OF，OE⊥BC，OF⊥AC.
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB，OE⊥BC，
∴OM = OE = OF.
∵OM⊥AB，OF⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上.
(2)解：如图，连接OC.
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$×5×12 = 30，S△ABC = $\frac{1}{2}$BC·OE + $\frac{1}{2}$AC·OF + $\frac{1}{2}$AB·OM = $\frac{1}{2}$OE·(BC + AC + AB)，而AB = $\sqrt{BC² + AC²}$ = $\sqrt{12² + 5²}$ = 13，
∴30 = $\frac{1}{2}$OE×(12 + 5 + 13)，
∴OE = 2.

$20.(12$分$)($怀化中考$)$如图，在等边三角形$ABC$中，点$M$为$AB$边上任意一点，延长$BC$至点$N，$使$CN=AM，$连接$MN$交$AC$于点$P，$$MH⊥AC$于点$H.$
$(1)$求证：$MP=NP.$
$(2)$若$AB=a，$求线段$PH$的长$.($结果用含$a$的代数式表示$)$

答案：

(1)证明：过点M作MQ//BC，交AC于点Q，如图所示. 在等边△ABC中，∠A =∠B =∠ACB = 60°.
∵MQ//BC，
∴∠AMQ =∠B = 60°，∠AQM =∠ACB = 60°，∠QMP = ∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM = QM.
∵AM = CN，
∴QM = CN. 在△QMP和△CNP中，{∠QPM =∠CPN，∠QMP =∠N，QM = CN}，
∴△QMP≌△CNP(AAS)，
∴MP = NP.
(2)解：
∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH = HQ.
∵△QMP≌△CNP，
∴QP = CP，
∴PH = HQ + QP = $\frac{1}{2}$AC.
∵AB = a，AB = AC，
∴PH = $\frac{1}{2}$a.