《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

22.(8分)[新动向·新定义试题](枣庄中考)对于实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b = 2a + b，例如：3⊗4 = 2×3 + 4 = 10.
(1)求4⊗(-3)的值.
(2)若x⊗(-y) = 2，(2y)⊗x = -1，求x + y的值.

答案： 解：
(1)根据题中的新定义，原式 = 2×4 + (-3) = 5.
(2)由题意，得$\begin{cases}2x - y = 2 ①\\4y + x = -1 ②\end{cases}$，① + ②，得 3x + 3y = 1，则 x + y = $\frac{1}{3}$.

23.(10分)(安徽中考)根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元.求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.

答案： 解：设调整前甲地该商品的销售单价为 x 元，乙地该商品的销售单价为 y 元. 由题意，得$\begin{cases}y - x = 10\\(y - 5)-(1 + 10\%)x = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 40\\y = 50\end{cases}$. 答：调整前甲地该商品的销售单价为 40 元，乙地该商品的销售单价为 50 元.

$24.(12$分$)[$推理能力$]$已知，$△ABC$和$△ADE$都是等边三角形$.$
$(1)$如图$①，$当点$D$在线段$BC$上时，判断线段$CE$和线段$AB$的位置关系，并证明$.$
$(2)$如图$②，$当点$D$在$BC$的延长线上，写出$AC，$$CD，$$CE$之间的数量关系，并证明$.$
$　　　　　　　　　　　　　$$ $
$(3)$如图$③，$当点$D$在$BC$的延长线上，且$ED⊥BC$时，$CE$与$AD$之间存在怎样的位置关系$？$证明你的结论$.$

答案： 解：
(1)CE//AB. 证明：
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴∠B = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAE = 60°，AB = AC，AD = AE.
∵∠BAD = 60° - ∠DAC，∠CAE = 60° - ∠DAC，
∴∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE = ∠B = 60°，
∴∠B + ∠BCE = 60° + 60° + 60° = 180°，
∴CE//AB.
(2)CE = AC + CD. 证明：
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AB = BC = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60°.
∵∠BAD = 60° + ∠DAC，∠CAE = 60° + ∠DAC，
∴∠BAD = ∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases}AB = AC\\∠BAD = ∠CAE\\AD = AE\end{cases}$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD = CE.
∵BC = AC，BD = BC + CD，
∴CE = AC + CD.
(3)CE 垂直平分 AD. 证明：
∵ED = AE，
∴点 E 在 AD 的垂直平分线上.
∵∠EDC = 90°，∠EDA = 60°，
∴∠CDA = 30°.
∵∠ACB = 60°，
∴∠CAD = 30°，
∴∠CDA = ∠CAD，
∴AC = CD，
∴点 C 在 AD 的垂直平分线上，
∴CE 垂直平分 AD.