《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

附加题(10分)
25.[创新意识]如图，图①是$\triangle ABC$，图②是“8字形”(线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AD$，$CB$形成的图形)，图④是一个五角星形状，试解答下列问题.

（1）在图①的$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C =$_______，并证明你写出的结论.(要有推理证明过程)
（2）图②的“8字形”中，请直接写出$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle D$之间的数量关系：______________.
（3）若在图②的条件下，作$\angle DAB$和$\angle BCD$的平分线$AP$和$CP$相交于点$P$，并且与$CD$，$AB$分别相交于点$M$，$N$（如图③）. 请写出$\angle P$与$\angle D$，$\angle B$之间的数量关系，并证明你写出的结论.
（4）图④中的点$A$向下移到线段$BE$上时，请直接写出$\angle CAD + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E =$_______.

答案：
解：
(1)180° 证明：如图①，过A点作EF//BC.
∵EF//BC，
∴∠B = ∠EAB，∠C = ∠CAF(两直线平行，内错角相等).
∵∠EAB + ∠BAC + ∠CAF = 180°(平角的定义)，
∴∠BAC + ∠B + ∠C = 180°(等量代换). 即∠A + ∠B + ∠C = 180°.

(2)∠A + ∠D = ∠C + ∠B
(3)∠P = $\frac{1}{2}$(∠D + ∠B).
证明：如图②，
∵AP，CP分别是∠DAB，∠BCD的平分线(已知)，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4(角平分线的定义).
∵∠1 + ∠D = ∠3 + ∠P，∠2 + ∠P = ∠4 + ∠B(三角形内角和定理及对顶角的性质)，
∴∠D - ∠P = ∠P - ∠B(等式的性质)，
∴∠P = $\frac{1}{2}$(∠D + ∠B).
(4)180°