《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

22.(10分)(威海乳山期中)如图,直线$AB$分别与$x$轴、$y$轴交于点$A(-2,0)$，$B(0,3)$. 直线$CD$分别与$x$轴、$y$轴交于点$C(1,0)$，$D(0,1)$，与直线$AB$交于点$E$. 求四边形$AODE$的面积.

答案： 解：设直线AB的函数表达式为y = kx + b，将点A(-2，0)，B(0，3)代入，得$\begin{cases}0 = -2k + b\\3 = b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$，
∴直线AB的函数表达式为y = $\frac{3}{2}$x + 3，设直线CD的函数表达式为y = mx + n，将点C(1，0)，D(0，1)代入，得$\begin{cases}0 = m + n\\1 = n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -1\\n = 1\end{cases}$，
∴直线CD的函数表达式为y = -x + 1，联立得$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x + 3\\y = -x + 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -\frac{4}{5}\\y = \frac{9}{5}\end{cases}$，
∴E(-$\frac{4}{5}$，$\frac{9}{5}$)，
∴S四边形AODE = S△ACE - S△OCD = $\frac{1}{2}$×(1 + 2)×$\frac{9}{5}$ - $\frac{1}{2}$×1×1 = $\frac{11}{5}$.

23.(12分)[模型观念]某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等. 已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米/秒的速度通过该观测点用时8秒.
(1)车头及每节车厢的长度分别是多少米？
(2)小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内屏幕显示速度为180千米/时，他乘坐的是几号车厢？

答案： 解：
(1)设车头的长度是x米，每节车厢的长度是y米. 根据题意，得$\begin{cases}x + 8y = 38×6\\x + 12y = 41×8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 28\\y = 25\end{cases}$. 答：车头的长度是28米，每节车厢的长度是25米.
(2)180千米/时 = 50米/秒，(50×5 - 28)÷25 = 8.88. 答：小明乘坐的是9号车厢.

24.(14分)[新动向.探究性试题](烟台福山期中)已知$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，直线$GH$分别交$AB$，$CD$于点$G$，$H$.
(1)如图①，若$\angle BGH = 80^{\circ}$，$\angle BEF = 120^{\circ}$，$EM$平分$\angle AEF$，$HM$平分$\angle GHC$，求$\angle EMH$的度数.

(2)如图②，$HM$平分$\angle GHC$，$EN$平分$\angle BEF$交$MH$的延长线于点$N$，探究$\angle MNE$，$\angle BGH$，$\angle BEF$之间的数量关系，并说明理由.

答案：
解：
(1)过点M作MN//AB. 如图①.
∵AB//CD，MN//AB，
∴MN//CD，∠BGH = ∠GHC = 80°.
∵HM平分∠GHC，
∴∠MHC = $\frac{1}{2}$∠GHC = 40°.
∵∠BEF = 120°，
∴∠AEF = 60°.
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM = $\frac{1}{2}$∠AEF = 30°.
∵MN//AB//CD，
∴∠EMN = ∠AEM = 30°，∠HMN = ∠MHC = 40°，
∴∠EMH = ∠EMN + ∠HMN = 30° + 40° = 70°.
(2)∠MNE = $\frac{1}{2}$∠BEF - $\frac{1}{2}$∠BGH. 理由：过点N作NK//CD，如图②.
∵AB//CD，
∴NK//AB，
∴∠ENK = ∠BEN.
∵EN平分∠BEF，
∴∠ENK = ∠BEN = $\frac{1}{2}$∠BEF.
∵NK//CD，
∴∠MHC = ∠MNK.
∵HM平分∠GHC，
∴∠MHC = $\frac{1}{2}$∠GHC. 又
∵AB//CD，
∴∠BGH = ∠GHC，
∴∠MNK = $\frac{1}{2}$∠BGH，
∴∠MNE = ∠ENK - ∠MNK，
∴∠MNE = $\frac{1}{2}$∠BEF - $\frac{1}{2}$∠BGH.