《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$21.(12$分$)($济宁任城期末$)$如图，在四边形$ABCD$中，$∠D+∠ABC = 180°，$$BE$平分$∠ABC$交$CD$于点$E，$连接$AE.$
$(1)$若$∠C = ∠1，$求证：$∠CBE = ∠AED.$
$(2)$若$∠C = 80°，$$∠D = 124°，$求$∠CEB$的度数$.$

答案：
(1)证明：
∵∠C+∠CBE+∠CEB=180°，∠AED+∠1+∠CEB=180°，∠C=∠1，
∴∠CBE=∠AED.
(2)解：
∵∠D+∠ABC=180°，∠D=124°，
∴∠ABC=56°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=28°.
∵∠C+∠CBE+∠CEB=180°，∠C=80°，
∴∠CEB=72°.

$22.(14$分$)[$几何模型$][$新动向$·$探究性试题$]$如图，在$△ABC$中，请猜测在以下三种情况下，$∠BPC$与$∠E$的数量关系，并选择其中两种情况进行证明$.$
$(1)$如图$①，$若点$P$是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线的交点，点$E$是外角$∠MBC，$$∠BCN$的平分线的交点$.$
$(2)$如图$②，$若点$P$是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线的交点，点$E$是$∠ABC$和外角$∠ACH$的平分线的交点$.$
$(3)$如图$③，$若点$P$是$∠ABC$和外角$∠ACH$的平分线的交点，点$E$是外角$∠MBC，$$∠BCN$的平分线的交点$.$

答案：
解：
(1)∠BPC+∠E=180°.证明：如图①.
∵P，E分别是△ABC的内、外角平分线的交点，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠MBC，∠1+∠2=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠MBC)=90°，同理∠3+∠4=90°，
∴∠BPC+∠E=360°-2×90°=180°.
(2)∠BPC-∠E=90°.证明：如图②.
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，点E是∠ABC和外角∠ACH的平分线的交点，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACH，
∴∠1+∠2=∠PCE=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACH)=90°.
∵∠BPC=∠E+∠PCE，
∴∠BPC-∠E=90°.
(3)∠BPC+∠E=90°.[选
(1)
(2)证明]

附加题$（10$分$）$
$23. [$跨学科$·$物理$]$科学实验发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，利用这个发现人们发明了许多有用的工具，例如潜望镜$.$
$（1）$如图$①$是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面平面镜$AB，$$CD$是平行放置的，光线经过镜子反射时，$∠1 = ∠2，$$∠3 = ∠4. $请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线$m$与离开潜望镜的光线$n$平行$.$
$（2）$如果改变两面平面镜的位置，经过两次反射后，入射光线$m$与反射光线$n$之间的位置会随之改变，在生活中就会有不同的应用$. $如图$②，$当光线$m$射到平面镜$AB$上时，会反射到平面镜$CD$上，又被平面镜$CD$反射，反射出的光线为$n. $若$m//n，$求两面平面镜的夹角$∠ABC$的度数$.$

答案：

(1)证明：
∵AB//CD(已知)，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴∠1=∠2=∠3=∠4(等量代换)，
∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4(等量减等量，差相等)，即∠5=∠6(等量代换)，
∴m//n(内错角相等，两直线平行).
(2)解：如图.
∵m//n，
∴∠EAC+∠FCA=180°.
∵∠1+∠2+∠EAC+∠3+∠4+∠FCA=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴2(∠2+∠3)=180°，
∴∠2+∠3=90°.
∵∠ABC+∠2+∠3=180°，
∴∠ABC=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.