《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

模型一：手拉手模型
1. 如图，$CA = CB$，$CD = CE$，$\angle ACB=\angle DCE=\alpha$，$AD$，$BE$交于点$H$，连接$CH$。
(1)求证：$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
(2)求证：$HC$平分$\angle AHE$。
(3)求$\angle CHE$的度数。(用含$\alpha$的式子表示)

答案：
$（1）$证明：
∵$∠ACB = ∠DCE = α，$
∴$∠ACD = ∠BCE. $在$△ACD $和$△BCE $中，${CA = CB，∠ACD = ∠BCE，CD = CE}，$
∴$△ACD≌△BCE（SAS）. （2）$证明：如图，过点$ C $作$ CM⊥AD $于点$ M，$$CN⊥BE $于点$ N. $
∵$△ACD≌△BCE，$
∴$∠CAM = ∠CBN. $在$△ACM $和$△BCN $中，${∠CAM = ∠CBN，∠AMC = ∠BNC，AC = BC}，$
∴$△ACM≌△BCN（AAS），$
∴$CM = CN，$
∴$HC $平分$∠AHE. （3）$解：
∵$△ACD≌△BCE，$
∴$∠CAD = ∠CBE，$
∴$∠AHB = ∠ACB = α，$
∴$∠AHE = 180° - α，$
∴$∠CHE = 1/2∠AHE = 90° - 1/2α.　　　　　　　$

模型二：一线三等角模型
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$DE$是过点$A$的直线，$BD\perp DE$于点$D$，$CE\perp DE$于点$E$，且$AD = CE$。
(1)若$BC$在$DE$的同侧(如图①)，求证：$AB\perp AC$。
(2)若$BC$在$DE$的两侧(如图②)，$AB$与$AC$仍垂直吗？请说明理由。

答案： （1）证明：
∵BD⊥DE 于点 D，CE⊥DE 于点 E，
∴∠ADB = ∠CEA = 90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中，{AB = CA，AD = CE}，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB = ∠ECA. 又
∵∠ECA + ∠CAE = 90°，
∴∠DAB + ∠CAE = 90°，
∴∠BAC = 90°，即 AB⊥AC. （2）解：AB⊥AC. 理由：
∵BD⊥DE 于点 D，CE⊥DE 于点 E，
∴∠ADB = ∠CEA = 90°. 在 Rt△ABD 和 Rt△CAE 中，{AB = CA，AD = CE}，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），
∴∠DAB = ∠ECA. 又
∵∠ECA + ∠CAE = 90°，
∴∠DAB + ∠CAE = 90°，
∴∠BAC = 90°，即 AB⊥AC.