《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

23.(12分)[模型观念]某公司准备安装完成5700辆共享单车投入市场. 由于抽调不出足够的熟练工人，公司准备招聘一批新工人. 生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多.
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车.
(2)若公司原有$a$名熟练工人，现招聘$n$名新工人$(a ＞ n)$，使得最后能刚好一个月(30天)完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5％，求$n$的值.

答案： 解：
(1)设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车. 根据题意，得{x + 2y = 28，2x = 3y，解得{x = 12，y = 8. 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车.
(2)根据题意，得30×(8n + 12a)×(1 - 5%) = 5700，整理，得n = 25 - 3/2a.
∵n，a均为正整数，且a ＞ n，
∴{n = 1，a = 16，{n = 4，a = 14，{n = 7，a = 12.
∴n的值为1或4或7.

24.(12分)[几何模型]如图，直线$l_{1}// l_{2}$，$MN$分别和直线$l_{1}$，$l_{2}$交于点$A$，$B$，$ME$分别和直线$l_{1}$，$l_{2}$交于点$C$，$D$，点$P$在$MN$上($P$与$A$，$B$，$M$三点不重合).
(1)如果点$P$在$A$，$B$两点之间运动时，$\angle\alpha$，$\angle\beta$，$\angle\gamma$之间有何数量关系？请证明你的结论.
(2)如果点$P$在$A$，$B$两点外运动时，$\angle\alpha$，$\angle\beta$，$\angle\gamma$之间有何数量关系？(只要求写出结论)

答案：
解：
(1)∠γ = ∠α + ∠β. 证明：过点P作PO//l₁，则PO//l₁//l₂，如图①所示.
∴∠α = ∠DPO，∠β = ∠CPO(两直线平行，内错角相等). 又
∵∠γ = ∠DPO + ∠CPO(已知)，
∴∠γ = ∠α + ∠β(等量代换).
(2)若点P在AB延长线上，过点P作PO//l₁，则PO//l₁//l₂，如图②所示. 则∠β = ∠α + ∠γ. 若点P在BA延长线上，过点P作PO//l₁，则PO//l₁//l₂，如图③所示. 则∠α = ∠β + ∠γ.