《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$7. $乐乐观察$“$抖空竹$”$时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题$:$如图，已知$AB//CD，$$∠BAE = 92°，$$∠DCE = 121°，$则$∠AEC$的度数是$(　　　)$
$　$
$A. 30°　　　　B. 29°　　　　　C. 28°　　　　　D. 27°$
$　　　　$

答案： B

$8. $如图，$AB//CD，$$∠AEP = 50°，$$∠PFC = 120°，$$∠PEA$和$∠PFC$的平分线交于点$G，$则$∠EGF$的度数为$__________.$
$　　　　$

答案：
35° [解析]如图所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG = $\frac{1}{2}$∠AEP = 25°，∠GFC = $\frac{1}{2}$∠PFC = 60°. 过点G作GM//AB，则∠MGE = ∠AEG = 25°.
∵AB//CD，
∴GM//CD，
∴∠GFC = ∠MGF = 60°，
∴∠EGF = ∠MGF - ∠MGE = 60° - 25° = 35°.

$9. ($济宁微山期中$)$已知，$AB//DE，$点$C$在$AB$上方，连接$BC，$$CD.$
$　(1)$如图$①，$求证$:∠BCD + ∠CDE = ∠ABC.$
$　(2)$如图$②，$过点$C$作$CF⊥BC$交$ED$的延长线于点$F，$探究$∠ABC$和$∠F$之间的数量关系$.$
$　(3)$如图$③，$在$(2)$的条件下，$∠CFD$的平分线交$CD$于点$G，$连接$GB$并延长至点$H，$若$BH$平分$∠ABC，$求$∠BGD - ∠CGF$的值$.$
$　　　$

答案：

(1)证明：过点C作CM//AB，如图①，
∴∠ABC = ∠BCM.
∵AB//DE，
∴CM//DE，∠CDE = ∠DCM.
∵∠BCM = ∠BCD + ∠DCM，
∴∠BCD + ∠CDE = ∠ABC.
(2)解：过点C作CN//AB，如图②，
∴∠ABC = ∠BCN.
∵AB//DE，
∴CN//EF，
∴∠F = ∠FCN.
∵∠BCN - ∠BCF = ∠FCN，
∴∠ABC = ∠BCF + ∠F.
∵CF⊥BC，
∴∠BCF = 90°，
∴∠ABC = 90° + ∠F，即∠ABC - ∠F = 90°.
(3)解：延长HG交EF于点Q，过点G作GP//EF，如图③，
∴∠BGD = ∠CGQ.
∵AB//DE，
∴∠ABH = ∠EQG.
∵GP//EF，
∴∠EQG = ∠PGQ，∠EFG = ∠PGF，
∴∠PGQ = ∠ABH，
∴∠BGD - ∠CGF = ∠CGQ - ∠CGF = ∠FGQ.
∵∠FGQ = ∠PGQ - ∠PGF，
∴∠FGQ = ∠ABH - ∠EFG.
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠EFG = $\frac{1}{2}$∠CFD，
∴∠FGQ = $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠CFD = $\frac{1}{2}$(∠ABC - ∠CFD)，由
(2)可得∠ABC - ∠CFD = 90°，
∴∠FGQ = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，即∠BGD - ∠CGF = 45°.