《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

4. (东营期末)阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数$x$，$y$满足$3x - y = 5$ ①，$2x + 3y = 7$ ②，求$x - 4y$和$7x + 5y$的值. 仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① - ②可得$x - 4y = -2$，由① + ②×2可得$7x + 5y = 19$. 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
解决问题：
(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 7\\x + 2y = 8\end{cases}$，则$x - y =$________，$x + y =$________.
(2)对于实数$x$，$y$，定义新运算：$x*y = ax + by + c$，其中$a$，$b$，$c$是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算. 已知$3*5 = 15$，$4*7 = 28$，求$1*1$的值.

答案： 解：
(1)$-1$ 5
(2)依题意，得$\begin{cases}3a + 5b + c = 15&①\\4a + 7b + c = 28&②\end{cases}$，由①×3 - ②×2，得$a + b + c = - 11$，即$1*1 = a + b + c = - 11$。

5. 若关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$，则关于$m$，$n$的二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}(m - n)+b_{1}(m + n)=c_{1}\\a_{2}(m - n)+b_{2}(m + n)=c_{2}\end{cases}$的解是________.

答案： $\begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\n = -\frac{5}{2}\end{cases}$ [解析]
∵关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2\\y = - 3\end{cases}$，
∴关于$m$，$n$的二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}(m - n)+b_{1}(m + n)=c_{1}\\a_{2}(m - n)+b_{2}(m + n)=c_{2}\end{cases}$中，$\begin{cases}m - n = 2\\m + n = - 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{1}{2}\\n = -\frac{5}{2}\end{cases}$。

6. [新动向·新定义试题]规定一种新的运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，例如：$\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=2×5 - 3×4 = 10 - 12 = -2$. 若$x$，$y$同时满足$\begin{vmatrix}2x + y&y - x\\\frac{1}{5}&\frac{1}{7}\end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix}2x + y&x - y\\\frac{1}{5}&\frac{1}{7}\end{vmatrix}=1$，则$x$，$y$的值分别是________.

答案： $\begin{cases}x = \frac{31}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{cases}$ [解析]依题意，得$\begin{cases}\frac{1}{7}(2x + y)-\frac{1}{5}(y - x)=5&①\\\frac{1}{7}(2x + y)-\frac{1}{5}(x - y)=1&②\end{cases}$，设$2x + y = m$，$x - y = n$，则原方程组可以化为$\begin{cases}\frac{1}{7}m+\frac{1}{5}n = 5\\\frac{1}{7}m-\frac{1}{5}n = 1\end{cases}$，解得$m = 21$，$n = 10$，所以$\begin{cases}2x + y = 21\\x - y = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{31}{3}\\y = \frac{1}{3}\end{cases}$。