《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

22.(16分)［推理能力］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感. 他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理. 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程.
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c².
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b - a. ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，又S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b - a)，∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a(b - a)，∴a²+b²=c².
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a²+b²=c².
　　　　　　　　　　 　　　　

答案：
证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF = b - a.
∵$S_{五边形 ACBED}$ = $S_{\triangle ACB}$ + $S_{\triangle ABE}$ + $S_{\triangle ADE}$ = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$b² + $\frac{1}{2}$ab，又$S_{五边形 ACBED}$ = $S_{\triangle ACB}$ + $S_{\triangle ABD}$ + $S_{\triangle BDE}$ = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c² + $\frac{1}{2}$a(b - a)，
∴$\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$b² + $\frac{1}{2}$ab = $\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c² + $\frac{1}{2}$a(b - a)，
∴a² + b² = c².