《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$25.(12$分$)($济宁任城期末$)$如图，$△ABC$中，$∠C = 90°，$$AB = 10 cm，$$BC = 6 cm，$若动点$P$从点$C$开始，按$C→A→B→C$的路径运动，且速度为$1 cm/s，$设出发的时间为$t s.$
$(1)$出发$5 s$后，求$△ABP$的周长$.$
$(2)$当$t$为何值时，$BP$平分$∠ABC.$
$(3)$问$t$为何值时，$△BCP$为等腰三角形$？$
$　　$

答案：
解：
(1)
∵∠C = 90°，AB = 10 cm，BC = 6 cm，
∴由勾股定理得 AC = 8 cm. 动点 P 从点 C 开始，按 C→A→B→C 的路径运动，且速度为 1 cm/s，
∴出发 5 s 后，CP = 5 cm，那么 AP = 3 cm.
∵∠C = 90°，
∴由勾股定理得 PB = $\sqrt{BC^{2}+CP^{2}}=\sqrt{6^{2}+5^{2}}=\sqrt{61}$(cm)，
∴△ABP 的周长为 AP + PB + AB = 3 + $\sqrt{61}$ + 10 = (13 + $\sqrt{61}$)cm.
(2)如图所示，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，连接 BP.
∵BP 平分∠ABC，
∴PD = PC. 在Rt△BPD与Rt△BPC中，$\begin{cases}PD = PC\\BP = BP\end{cases}$，
∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），
∴BD = BC = 6 cm，
∴AD = 10 - 6 = 4(cm). 设 PC = x cm，则 PA = (8 - x)cm. 在Rt△APD中，PD² + AD² = PA²，即 x² + 4² = (8 - x)²，解得 x = 3，
∴当 t = 3 时，BP 平分∠ABC.
(3)当点 P 在边 AC 上时，BC = CP = 6 cm，此时 t = 6，当 t = 6 时，△BCP 为等腰三角形；当点 P 在 AB 边上时，有三种情况：①若 BP = CB = 6 cm，此时 AP = 4 cm，点 P 运动的路程为 12 cm，
∴用的时间为 12 s，故 t = 12 时，△BCP 为等腰三角形；②若 CP = BC = 6 cm，过 C 作斜边 AB 的高，根据面积法求得高为 4.8 cm，进而求得 BP = 7.2 cm，
∴点 P 运动的路程为 18 - 7.2 = 10.8(cm)，
∴用的时间为 10.8 s，故 t = 10.8 时，△BCP 为等腰三角形；③若 BP = CP，则∠PCB = ∠PBC.
∵∠ACP + ∠BCP = 90°，∠PBC + ∠CAP = 90°，
∴∠ACP = ∠CAP，
∴PA = PC，
∴PA = PB = 5 cm，
∴点 P 运动的路程为 13 cm，
∴用的时间为 13 s，故 t = 13 时，△BCP 为等腰三角形.
∴t = 6 或 12 或 10.8 或 13 时，△BCP 为等腰三角形.