《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$4. $一大门的栏杆如图所示，$BA$垂直于地面$AE$于点$A，$$CD$平行于地面$AE. $若$∠BCD = 140°，$则$∠ABC$的度数为$__________.$
$　　　$

答案： 130°

$5. ($烟台芝罘期末$)$如图，直线$l1//l2，$$∠A = 125°，$$∠ABC = 95°，$则$∠1 + ∠2 = __________.$
$　　　$

答案： 40°

$6. $如图，$AB//CD.$
$　(1)$如图$①，$请探索$∠A，$$∠AEC，$$∠C$三个角之间的数量关系，并说明理由$.$
$　(2)$已知$∠A = 164°.$
$　(I)$如图$②，$若$∠EFC = 100°，$求$∠C + ∠AEF$的度数$.$
$　(II)$如图$③，$若$∠AEF$和$∠DCF$的平分线交于点$G，$请写出$∠EGC$与$∠EFC$之间的数量关系，并说明理由$.$
$　　$

答案：
解：
(1)∠A + ∠AEC + ∠C = 360°. 理由如下：如图①，过点E作EM//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EM//CD，
∴∠AEM + ∠A = 180°，∠MEC + ∠C = 180°，
∴∠A + ∠AEM + ∠MEC + ∠C = 360°，即∠A + ∠AEC + ∠C = 360°.

(2)(Ⅰ)如图②，过点F作FN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//FN//CD，
∴∠C + ∠NFC = 180°，
∴∠C = 180° - ∠NFC，由
(1)得∠A + ∠AEF + ∠EFN = 360°，
∴∠AEF = 360° - ∠EFN - ∠A.
∵∠EFC = 100°，∠A = 164°，
∴∠C + ∠AEF = (180° - ∠NFC)+(360° - ∠EFN - ∠A)= 540° - ∠EFC - ∠A = 276°.
(Ⅱ)∠EGC + $\frac{1}{2}$∠EFC = 172°. 理由如下：
∵EG为∠AEF的平分线，CG为∠DCF的平分线，
∴∠AEF = 2∠GEF，∠DCF = 2∠GCF，连接EC，得∠GEF + ∠GCF + ∠EGC + ∠F = 360°，易得∠AEF + ∠DCF = 540° - ∠EFC - ∠A，即2∠GEF + 2∠GCF = 540° - ∠EFC - ∠A，
∴∠GEF + ∠GCF = 270° - $\frac{1}{2}$∠EFC - $\frac{1}{2}$∠A，
∴270° - $\frac{1}{2}$∠EFC - $\frac{1}{2}$∠A + ∠EGC + ∠EFC = 360°，整理，得∠EGC + $\frac{1}{2}$∠EFC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
∵∠A = 164°，
∴∠EGC + $\frac{1}{2}$∠EFC = 172°.