《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

$21.(14$分$)($北京中考变式$)$在$△ABC$中，$∠ACB=90°，$$D$为$△ABC$内一点，连接$BD，$$DC，$延长$DC$到点$E，$使得$CE=DC.$
$(1)$如图$①，$延长$BC$到点$F，$使得$CF=BC，$连接$AF，$$EF. $若$AF⊥EF，$求证：$BD⊥AF.$
$(2)$连接$AE，$交$BD$的延长线于点$H，$连接$CH，$依题意补全图$②. $若$AB²=AE²+BD²，$求证：$∠DHE=90°.$
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答案：

(1) 证明：在△BCD和△FCE中，$\begin{cases}BC = FC\\\angle BCD = \angle FCE\\CD = CE\end{cases}$，
∴△BCD≌△FCE（SAS），
∴∠DBC = ∠EFC，
∴BD//EF.
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF.
(2) 解：由题意补全图形如图. 证明：延长BC到点F，使CF = BC，连接AF，EF.
∵AC⊥BF，BC = CF，
∴AB = AF. 由
(1)可知BD//EF，BD = EF.
∵AB² = AE² + BD²，
∴AF² = AE² + EF²，
∴∠AEF = 90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE = 90°.