《2025年海淀单元测试AB卷七年级数学下册鲁教版》

7.[同解问题](济宁汶上期末)已知方程组$\begin{cases}2x - y = 7\\ax + y = b\end{cases}$和方程组$\begin{cases}x + by = a\\3x + y = 8\end{cases}$有相同的解，则a，b的值分别为( )
A.$\begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = 4\\b = - 6\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = - 6\\b = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 14\\b = 2\end{cases}$

答案： A [解析]根据题意，得{2x - y = 7 ①,3x + y = 8 ②，由①+②得5x=15，解得x=3，把x=3代入①得6 - y = 7，解得y = - 1，把x=3，y = - 1代入ax + y = b和x + by = a，得{3a - 1 = b,3 - b = a，解得{a = 1,b = 2. 故选A.

8.[数形结合思想]如图是在同一平面直角坐标系内作出的一次函数$y_1$，$y_2$的图象$l_1$，$l_2$，设$y_1 = k_1x + b_1$，$y_2 = k_2x + b_2$，则方程组$\begin{cases}y_1 = k_1x + b_1\\y_2 = k_2x + b_2\end{cases}$的解是( )

A.$\begin{cases}x = - 2\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = - 2\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = - 3\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = - 3\\y = 4\end{cases}$

答案： B [解析]由题图，得函数y1，y2的图象l1，l2分别过(-2，3)，(4，1)两点和(-1，0)，(0，-3)两点，
∴{3 = - 2k1 + b1,1 = 4k1 + b1，{0 = - k2 + b2,-3 = b2，解得{k1 = - 1/3,b1 = 7/3，{k2 = - 3,b2 = - 3，
∴二元一次方程组为{y = - 1/3x + 7/3,y = - 3x - 3，解得{x = - 2,y = 3. 故选B.
★速解技巧——数形结合
延长直线l2，使其与直线l1相交，可以发现两直线的交点坐标为(-2，3)，从而可以知道方程组的解为{x = - 2,y = 

9.[新动向·数学文化](兰州中考)《九章算术》是我国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的质量各为多少？设一只雀的质量为x斤，一只燕的质量为y斤，则可列方程组为( )
A.$\begin{cases}5x + 6y = 1\\5x - y = 6y - x\end{cases}$
B.$\begin{cases}6x + 5y = 1\\5x + y = 6y + x\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x + 6y = 1\\4x + y = 5y + x\end{cases}$
D.$\begin{cases}6x + 5y = 1\\4x - y = 5y - x\end{cases}$

答案： C

10.[模型观念](绍兴中考)同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km.现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地，则B地最远可距离A地( )
A.120km
B.140km
C.160km
D.180km

答案：
B [解析]设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙车行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图. 设AB = x km，AC = y km，根据题意，得{2x + 2y = 210×2,x - y + x = 210，解得{x = 140,y = 70.
∴乙车在C地时加注行驶70 km的燃料，则AB的最大长度是140 km.

★一题多解
设AC = y km，从甲车的角度考虑，甲车给乙车注入燃料，要想AB最远，需满足以下两个条件：①注满乙车；②剩余燃料刚好够甲车从C地回到A地. 从A地到C地，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车行驶y km，甲车注入燃料可行驶y km，注入后甲车剩余燃料也可行驶y km(刚好返回A地)，所以对于甲车，y + y + y = 210，所以y = 70. 从乙车的角度考虑，乙车从C地出发是满燃料，所以AB为105 + 70÷2 = 140(km).