《2025年触类旁通奥数点睛六年级数学通用版》

1. 草场上有一个长$20$米、宽$10$米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用一根长$30$米的绳子拴着一只羊，如图，请问这只羊能够活动的范围有多大？

答案： $3.14\times30^{2}\times\frac{3}{4}+3.14\times20^{2}\times\frac{1}{4}+3.14\times10^{2}\times\frac{1}{4}=2512$（平方米）

2. 如图，长方形$BCDE$的长$BC = 6$cm，宽$BE = 3$cm，求涂色部分的面积。

答案： 先用长方形的面积减去小扇形的面积得到大空白部分的面积为$6\times3 - 3.14\times3^{2}\times\frac{1}{4}=10.935(\text{cm}^{2})$，再用大扇形的面积减去大空白部分的面积得到涂色部分的面积为$3.14\times6^{2}\times\frac{1}{4}-10.935 = 17.325(\text{cm}^{2})$。

3. 图中$4$个小圆的半径都是$6$cm，求涂色部分的面积。

答案： $6\times2 = 12(\text{cm})$
$12\times12 - 3.14\times6^{2}=30.96(\text{cm}^{2})$
$3.14\times6^{2}\times\frac{3}{4}\times4 + 30.96 = 370.08(\text{cm}^{2})$

4. 如图，直径$BC = 8$cm，$AB = AC$，$D$为$AC$的中点，求涂色部分的面积。

答案： 方法一：半圆的面积为$3.14\times(8\div2)^{2}\div2 = 25.12(\text{cm}^{2})$，$\triangle ABC$的面积为$8\times(8\div2)\div2 = 16(\text{cm}^{2})$，涂色小弓形的面积为$(25.12 - 16)\div2 = 4.56(\text{cm}^{2})$。因为$D$为$AC$的中点，所以$AD = DC$，所以$\triangle ABD$的面积$=\triangle BDC$的面积，均等于$\triangle ABC$面积的一半，所以涂色部分的面积为$4.56 + 16\div2 = 12.56(\text{cm}^{2})$。
方法二：连接$OA$，由已知条件可知涂色部分的面积等于扇形$AOB$的面积，即$3.14\times(\frac{8}{2})^{2}\times\frac{1}{4}=12.56(\text{cm}^{2})$。

5. 如图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是$4$。图中涂色部分的面积是多少？（$\pi$取$3.14$）

答案：
如图，作辅助线，把两个涂色部分的小弓形补到空白部分，可以看出涂色部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中空白正方形的面积，即$\frac{1}{4}\times3.14\times4^{2}-4\times4\div2 = 4.56$。