《2025年触类旁通奥数点睛六年级数学通用版》

**金牌例题4**
计算：$\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+\cdots+\frac{2023}{2025}+\frac{2024}{2025}$。
**思路点拨** 分母相同，分子直接相加，根据高斯求和，即$1 + 2 + 3 + \cdots + n = n(n + 1)\div 2$，求出1到2024的和，再计算，这样比较简单。
**详细解答** 原式$=\frac{2024\times(1 + 2024)\div 2}{2025}=1012$

答案： 原式$=\frac{2024\times(1 + 2024)\div 2}{2025}=1012$

计算：$1\frac{1}{2}+2\frac{1}{6}+3\frac{1}{12}+4\frac{1}{20}+\cdots+20\frac{1}{420}$。

答案： 金牌例题 4
原式$=(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 20)+(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\cdots+\frac{1}{20\times21})=(1 + 20)\times20\div2+(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{20}-\frac{1}{21})=210+\frac{20}{21}=210\frac{20}{21}$

**金牌例题5**
计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\cdots+\frac{59}{60}$。
**思路点拨** 先把分母相同的分数分为一组，通过计算或变形，把每组的结果写成分母是2的分数，运用求和公式进行计算。
**详细解答** 原式$=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+\cdots+(\frac{1}{60}+\frac{2}{60}+\cdots+\frac{59}{60})=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{59}{2}=\frac{1 + 2 + 3 + \cdots + 59}{2}=\frac{(1 + 59)\times59\div2}{2}=885$
**触类旁通**

答案： 原式$=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})+\cdots+(\frac{1}{60}+\frac{2}{60}+\cdots+\frac{59}{60})=\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+\cdots+\frac{59}{2}=\frac{1 + 2 + 3 + \cdots + 59}{2}=\frac{(1 + 59)\times59\div2}{2}=885$

计算：$\frac{1}{1998}+\frac{2}{1998}+\frac{3}{1998}+\frac{4}{1998}+\cdots+\frac{1997}{1998}+\frac{1998}{1998}+\frac{1997}{1998}+\frac{1996}{1998}+\cdots+\frac{2}{1998}+\frac{1}{1998}$。

答案：
方法 1：因为都是同分母的分数相加，那么分子 =
$1 + 2 + 3 + \cdots + 1997 + 1998 + 1997 + 1996 + \cdots$
$+ 2 + 1$。因为$1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$，$1 + 2 + 3 + 2 +$
$1 = 9 = 3^{2}$，$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = 4^{2}$，那
么这样的数列的结果等于中间那个数的平方，
根据此规律，分子$= 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1997 +$
$1998 + 1997 + 1996 + \cdots + 2 + 1 = 1998^{2}$，然后再
进一步计算。过程如下：
原式$=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1997 + 1998 + 1997 + 1996 + \cdots + 2 + 1}{1998}=$
$\frac{1998^{2}}{1998}=1998$
方法 2：因为都是同分母的分数相加，那么分子 =
$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1997 + 1998 + 1997 + 1996 + \cdots$
$+ 2 + 1 = 2\times(1 + 2 + 3 + \cdots + 1998)-1998 =$
$\frac{2\times(1 + 1998)\times1998}{2}-1998 = 1998^{2}$，然后再进
一步计算。过程如下：
原式$=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1997 + 1998 + 1997 + 1996 + \cdots + 2 + 1}{1998}$
$=\frac{2\times(1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 1998)-1998}{1998}=\frac{1998^{2}}{1998}$
$= 1998$