《2025年触类旁通奥数点睛六年级数学通用版》

### 金牌例题 6
计算：$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})\times(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5})\times(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$。
#### 思路点拨
仔细观察，可以发现，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$和$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$分别出现两次，因此我们可以先设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=x$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=y$，那么原式就可以转化为用字母表示的式子，然后进行计算即可。
#### 详细解答
设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=x$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=y$，那么原式$=x\times(y+\frac{1}{5})-(x+\frac{1}{5})\times y=xy+\frac{1}{5}x-(xy+\frac{1}{5}y)=xy+\frac{1}{5}x-xy-\frac{1}{5}y=\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{1}{5}(x - y)=\frac{1}{5}\times1=\frac{1}{5}$。
#### 方法点睛
当题目中有些分数重复出现时，我们可以先假设这些重复出现的分数算式为一个字母，使算式简化，然后再进行计算。

答案： 设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=x$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=y$，那么原式$=x\times(y+\frac{1}{5})-(x+\frac{1}{5})\times y=xy+\frac{1}{5}x-(xy+\frac{1}{5}y)=xy+\frac{1}{5}x-xy-\frac{1}{5}y=\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}y=\frac{1}{5}(x - y)=\frac{1}{5}\times1=\frac{1}{5}$。

1. $(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11})\times(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12})-(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12})\times(\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11})$

答案：
1. 设$\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}=a$，$\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}=b$，原
式$=a\times(b + \frac{1}{12})-(a + \frac{1}{12})\times b = ab + \frac{1}{12}a$
$-ab - \frac{1}{12}b=\frac{1}{12}(a - b)=\frac{1}{12}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{96}$。

2. $(1+\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+\frac{1}{1018})\times(\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+\frac{1}{1018}+\frac{1}{1019})-(1+\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+\frac{1}{1018}+\frac{1}{1019})\times(\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+\frac{1}{1018})$

答案： 2. 设$\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+\frac{1}{1018}=x$，$\frac{1}{1016}+\frac{1}{1017}+$
$\frac{1}{1018}+\frac{1}{1019}=y$，原式$=(1 + x)\times y-(1 +$
$y)\times x = y + xy - x - xy = y - x=\frac{1}{1019}$。