《2025年触类旁通奥数点睛六年级数学通用版》

### 金牌例题7
计算：$\frac{1 + 2}{2}×\frac{1 + 2 + 3}{2 + 3}×\frac{1 + 2 + 3 + 4}{2 + 3 + 4}×\cdots×\frac{1 + 2 + 3 + \cdots + 50}{2 + 3 + \cdots + 50}$。
#### 思路点拨
通过观察，分子、分母是连续自然数的和，并逐渐增多，因此分子和分母均运用高斯求和公式表示出来，约分后得到第$n$个分数就是$\frac{(n + 1)×(n + 2)}{n×(n + 3)}$，进一步运用约分的方法，使计算简便。
#### 详细解答
原式$=\frac{2×3}{1×4}×\frac{3×4}{2×5}×\frac{4×5}{3×6}×\cdots×\frac{50×51}{49×52}=\frac{3}{1}×\frac{50}{52}=2\frac{23}{26}$
#### 方法点睛
此类问题，分子或分母之间存在某种特殊规律时，先确定通项公式表示相应的分数，再运用运算技巧进行简便计算。此类题考查分数的巧算，关键是把原式写成能约分的形式。
### 触类旁通

答案： 原式$=\frac{2×3}{1×4}×\frac{3×4}{2×5}×\frac{4×5}{3×6}×\cdots×\frac{50×51}{49×52}=\frac{3}{1}×\frac{50}{52}=2\frac{23}{26}$

计算。
(1)$(1 + \frac{1}{2^{2} - 1})×(1 + \frac{1}{3^{2} - 1})×\cdots×(1 + \frac{1}{99^{2} - 1})$
(2)$24×(\frac{1}{2×3} + \frac{1}{4×5} + \cdots + \frac{1}{20×21}) - (\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{1^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{1}{1^{2} + 2^{2} + \cdots + 10^{2}})$

答案：
(1)原式=$\frac{2\times2}{(2 + 1)\times(2 - 1)}\times\frac{3\times3}{(3 + 1)\times(3 - 1)}\times\cdots\times\frac{99\times99}{(99 + 1)\times(99 - 1)}=\frac{2\times2}{3\times1}\times\frac{3\times3}{4\times2}\times\cdots\times\frac{99\times99}{100\times98}=\frac{2}{1}\times\frac{99}{100}=\frac{99}{50}$
(2)减号后面的式子,每一项的分母可运用公式$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{1}{6}\times n\times(n + 1)\times(2n + 1)$,原式减号前面括号里的式子有10项,减号后面括号里的式子也有10项,经分析,可以一对一的相减,据此解答。过程如下:原式$=24\times(\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{4\times5}+\cdots+\frac{1}{20\times21})-6\times(\frac{1}{1\times2\times3}+\frac{1}{2\times3\times5}+\cdots+\frac{1}{10\times11\times21})=24\times(\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{4\times5}+\cdots+\frac{1}{20\times21})-24\times(\frac{1}{2\times4\times3}+\frac{1}{4\times6\times5}+\cdots+\frac{1}{20\times22\times21})=24\times[(\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{2\times4\times3})+(\frac{1}{4\times5}-\frac{1}{4\times6\times5})+\cdots+(\frac{1}{20\times21}-\frac{1}{20\times22\times21})]=24\times(\frac{1}{2\times4}+\frac{1}{4\times6}+\cdots+\frac{1}{20\times22})=6\times(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{10\times11})=6\times(1-\frac{1}{11})=\frac{60}{11}$

1. $\frac{1}{1024} + \frac{1}{512} + \frac{1}{256} + \cdots + \frac{1}{2}$

答案： 原式$=(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1024}+\frac{1}{512}+\frac{1}{256}+\cdots+\frac{1}{2})-\frac{1}{1024}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}$

2. $\frac{2022}{1×2} + \frac{2022}{2×3} + \frac{2022}{3×4} + \frac{2022}{4×5} + \frac{2022}{5×6}$

答案： 原式$=2022\times(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6})=2022\times(1-\frac{1}{6})=2022\times\frac{5}{6}=1685$

3. $41\frac{1}{3}×\frac{3}{4} + 51\frac{1}{4}×\frac{4}{5} + 61\frac{1}{5}×\frac{5}{6}$

答案： 原式$=(40+\frac{4}{3})\times\frac{3}{4}+(50+\frac{5}{4})\times\frac{4}{5}+(60+\frac{6}{5})\times\frac{5}{6}=40\times\frac{3}{4}+\frac{4}{3}\times\frac{3}{4}+50\times\frac{4}{5}+\frac{5}{4}\times\frac{4}{5}+60\times\frac{5}{6}+\frac{6}{5}\times\frac{5}{6}=30 + 1+40+1+50+1=123$

4. $\frac{3}{5} + \frac{6}{7} + \frac{5}{6} + \frac{7}{12} + \frac{9}{20} + \frac{11}{30} + \frac{13}{42}$

答案： 原式$=\frac{3}{5}+\frac{6}{7}+\frac{2 + 3}{2\times3}+\frac{3 + 4}{3\times4}+\frac{4 + 5}{4\times5}+\frac{5 + 6}{5\times6}+\frac{6 + 7}{6\times7}=\frac{3}{5}+\frac{6}{7}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5})+(\frac{6}{7}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6})=1+1+1+1=4$

5. $1 + 3\frac{1}{6} + 5\frac{1}{12} + 7\frac{1}{20} + 9\frac{1}{30} + 11\frac{1}{42} + 13\frac{1}{56}$

答案： 原式$=1 + 3+5+7+9+11+13+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}+\frac{1}{6\times7}+\frac{1}{7\times8}=7\times7+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=49+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=49\frac{3}{8}$

6. $333387\frac{1}{2}×79 + 790×66661\frac{1}{4}$

答案： 原式$=333387\frac{1}{2}\times79+79\times66661\frac{1}{4}\times10=79\times(333387+666610+\frac{1}{2}+\frac{5}{2})=79\times1000000=79000000$

7. $\frac{1}{21} + \frac{202}{2121} + \frac{50505}{212121} + \frac{13131313}{21212121}$

答案： 原式$=\frac{1}{21}+\frac{101\times2}{101\times21}+\frac{10101\times5}{10101\times21}+\frac{1010101\times13}{1010101\times21}=\frac{1}{21}+\frac{2}{21}+\frac{5}{21}+\frac{13}{21}=\frac{1 + 2+5+13}{21}=1$

8. $\frac{1×3×24 + 4×12×96 + 5×15×120 + 6×18×144}{1×2×4 + 4×8×16 + 5×10×20 + 6×12×24}$

答案： 原式$=\frac{(1\times3\times24)\times(1 + 4\times4\times4+5\times5\times5+6\times6\times6)}{(1\times2\times4)\times(1 + 4\times4\times4+5\times5\times5+6\times6\times6)}=\frac{1\times3\times24}{1\times2\times4}=9$

9. $(\frac{1}{11} + \frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \frac{1}{41})×(\frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \frac{1}{41} + \frac{1}{51}) - (\frac{1}{11} + \frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \frac{1}{41} + \frac{1}{51})×(\frac{1}{21} + \frac{1}{31} + \frac{1}{41})$

答案： 设$\frac{1}{11}+\frac{1}{21}+\frac{1}{31}+\frac{1}{41}=a,\frac{1}{21}+\frac{1}{31}+\frac{1}{41}=b$,原式$=a\times(b+\frac{1}{51})-(a+\frac{1}{51})\times b=ab+\frac{1}{51}a - ab-\frac{1}{51}b=\frac{1}{51}\times(a - b)=\frac{1}{51}\times\frac{1}{11}=\frac{1}{561}$

10. $\frac{1}{2×5} + 3\frac{1}{5×8} +5 \frac{1}{8×11} + 7\frac{1}{11×14} + 9\frac{1}{14×17} + 11\frac{1}{17×20}$

答案： 原式$=(3 + 5+7+9+11)+[\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{14}+\frac{1}{14}-\frac{1}{17}+\frac{1}{17}-\frac{1}{20})]=35+\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{20})=35\frac{3}{20}$

11. $\frac{1}{1×2 } + \frac{1}{1×2 +2×3} + \frac{1}{1×2 +2×3+3×4} + \cdots + \frac{1}{1×2 +2×3+···10×11}$

答案： 原式$=\frac{1}{1\times2\times3\div3}+\frac{1}{2\times3\times4\div3}+\frac{1}{3\times4\times5\div3}+\cdots+\frac{1}{10\times11\times12\div3}=3\times(\frac{1}{1\times2\times3}+\frac{1}{2\times3\times4}+\frac{1}{3\times4\times5}+\cdots+\frac{1}{10\times11\times12})=3\times\frac{1}{2}\times(\frac{3 - 1}{1\times2\times3}+\frac{4 - 2}{2\times3\times4}+\frac{5 - 3}{3\times4\times5}+\cdots+\frac{12 - 10}{10\times11\times12})=\frac{3}{2}\times(\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{3\times4}-\frac{1}{4\times5}+\cdots+\frac{1}{10\times11}-\frac{1}{11\times12})=\frac{3}{2}\times(\frac{1}{2}-\frac{1}{11\times12})=\frac{3}{2}\times\frac{65}{132}=\frac{65}{88}$

12. $(\frac{621}{126} + \frac{739}{358} + \frac{458}{947})×(\frac{739}{358} + \frac{458}{947} + \frac{378}{207}) - (\frac{739}{358} + \frac{458}{947})×(\frac{621}{126} + \frac{739}{358} + \frac{458}{947 + + \frac{378}{207}})$

答案： 设$\frac{621}{126}=A,\frac{739}{358}=B,\frac{458}{947}=C,\frac{378}{207}=D$,则原式$=(A + B + C)\times(B + C + D)-(A + B + C + D)\times(B + C)=(A + B + C)\times(B + C)+(A + B + C)\times D-(A + B + C)\times(B + C)-D\times(B + C)=(A + B + C)\times D - D\times(B + C)=D\times(A + B + C - B - C)=D\times A=\frac{378}{207}\times\frac{621}{126}=9$