《2025年通城学典初中数学运算能手八年级下册苏科版》

9.（8 分）已知 3 既是$a - 1$的算术平方根，又是$a + 2b + 1$的立方根，求$a^{2}-b^{2}$的平方根.

答案： 因为3是a - 1的算术平方根，所以a - 1 = 9，解得a = 10。又因为3是a + 2b + 1的立方根，所以a + 2b + 1 = 27，即10 + 2b + 1 = 27，解得b = 8。所以a² - b² = 10² - 8² = 36。因为36的平方根是±6，所以a² - b²的平方根是±6。

10.（16 分）如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$、$E$分别在边$BC$、$AC$上，且$DE// AB$，过点$E$作$EF\perp DE$，交$BC$的延长线于点$F$.
（1）求$\angle F$的度数；
（2）若$CD = 2\ cm$，求$DF$的长.

答案： （1）因为△ABC是等边三角形，所以∠B = 60°。因为DE//AB，所以∠EDC = ∠B = 60°。因为EF⊥DE，所以∠DEF = 90°。所以∠F = 30°。 （2）因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB = 60°。由（1），得∠EDC = 60°。所以△EDC是等边三角形。所以DE = CD = 2 cm。因为∠DEF = 90°，∠F = 30°，所以易得DF = 2DE = 4 cm。

11.（20 分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AB = 4\ cm$，$AC = 12\ cm$. 动点$P$从点$A$开始沿边$AB$以$1\ cm/s$的速度运动，动点$Q$从点$C$开始沿边$CA$以$3\ cm/s$的速度运动. 点$P$和点$Q$同时出发，当点$P$到达点$B$时，点$Q$也随之停止运动. 设动点的运动时间为$t\ s(0 ＜ t\leqslant4)$.
（1）当$t$为何值时，点$A$在$PQ$的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使$\triangle APQ$是直角三角形？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.

答案： （1）因为点A在PQ的垂直平分线上，所以AP = AQ。因为AP = t cm，AQ = (12 - 3t)cm，所以t = 12 - 3t，解得t = 3。 （2）由运动知，AP = t cm，AQ = (12 - 3t)cm。 ①当∠APQ = 90°时，因为∠A = 60°，所以∠AQP = 30°。所以易得AQ = 2AP。所以12 - 3t = 2t，解得t = $\frac{12}{5}$。 ②当∠AQP = 90°时，因为∠A = 60°，所以∠APQ = 30°。所以AP = 2AQ。所以易得t = 2(12 - 3t)，解得t = $\frac{24}{7}$。综上所述，当t = $\frac{12}{5}$或$\frac{24}{7}$时，△APQ是直角三角形。