《2025年通城学典初中数学运算能手八年级下册苏科版》

1. 若$\frac{2(x + 1)}{3(x + 1)}=\frac{2}{3}$成立，则$x$的取值范围是 _______.

答案： $x\neq -1$

2. 有下列分式：①$\frac{x}{y}=\frac{x + 2}{y + 2}$；②$\frac{x}{y}=\frac{x^{2}}{y^{2}}$；③$\frac{x - 2}{x}=\frac{x + 2}{x}$；④$\frac{5}{5(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}$. 其中，从左到右的变形正确的是 _______（填序号）.

答案： ④

3. 不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则$\frac{-2x + y}{-x - 3y}=$ _______.

答案： $\frac{2x - y}{x + 3y}$

4. 不改变分式的值，将分式$\frac{-\frac{1}{2}x - y}{-\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y}$的分子、分母的各项系数都化为整数，且分子与分母首项都不含“$-$”号：__________.

答案： $\frac{6x + 12y}{3x - 8y}$

5. 若$4x = 3y$，则$\frac{2x - y}{x}=$ _______；若$4x = 3y$，将$x$、$y$的值都缩小为原来的$\frac{1}{3}$，则$\frac{2x - y}{x}$的值为 _______.

答案： $\frac{2}{3}$@@$\frac{2}{3}$

6.（1）填空：
$\frac{1}{2}=\frac{1 + (\ \ \ \ )}{2 + 4}=\frac{1 + (\ \ \ \ )}{2 + 6}=\frac{1 + (\ \ \ \ )}{2 + 8}=\frac{1 + (\ \ \ \ )}{2 + 10}$；
$\frac{4}{7}=\frac{4 + (\ \ \ \ )}{7 + 14}=\frac{4 + (\ \ \ \ )}{7 + 21}=\frac{4 + (\ \ \ \ )}{7 + (\ \ \ \ )}=\frac{4 + 20}{7 + (\ \ \ \ )}$.
（2）从上式中找规律，若$a\neq0$，则$\frac{a}{b}=\frac{a + (\ \ \ \ )}{b + (\ \ \ \ )}$（用含$n$的式子表示）.

答案：
(1) 2 3 4 5 8 12 16 28 35
(2) $na$ $nb$

7. 对分式$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$变形. 甲同学的解法为$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{(a + b)(a - b)}{a + b}=a - b$；乙同学的解法为$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{(a^{2}-b^{2})(a - b)}{a^{2}-b^{2}}=a - b$. 请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学的解法是否正确，并说明理由.

答案： 甲同学的解法是正确的，乙同学的解法是错误的。理由：因为分式$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$中已经隐含了$a + b\neq 0$，所以可根据分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以$(a + b)$，所以甲同学的解法是正确的。因为$(a - b)$是否为0不能确定，所以不能根据分式的基本性质，将分式的分子与分母同乘$(a - b)$，所以乙同学的解法是错误的。