《2025年通城学典初中数学运算能手八年级下册苏科版》

6. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE、BE. 若AE = 6，DE = 5，∠BEC = 90°，则△BEC的周长是________.

答案： 24

7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E. 若BE = 2，AE = 4，则AC的长为________.

答案： 10

8. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 3 cm，E是CD的中点. 点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿点A→点B→点C运动，最终到达点C. 设点P的运动时间为t s，若△APE的面积为4 cm²，则t的值为________.

答案： $\frac{8}{3}$或6

9. （22分）如图，在□ABCD中，E是DC上一点，连接AE、BE，AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线.
（1）求证：DE = CE；
（2）若AE = 4，BE = 3，求□ABCD的周长与面积.

答案： （1）因为AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，所以∠DAE = ∠EAB，∠CBE = ∠ABE。因为四边形ABCD是平行四边形，所以DC//AB，AD = BC。所以∠DEA = ∠EAB，∠CEB = ∠ABE。所以∠DAE = ∠DEA，∠CBE = ∠CEB。所以AD = DE，BC = CE。所以DE = CE。 （2）设点E到AB的距离为h。由（1），得∠DAE = ∠EAB，∠CBE = ∠ABE。因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC。所以∠DAB + ∠CBA = 2∠EAB + 2∠ABE = 180°。所以∠EAB + ∠ABE = 90°。所以∠AEB = 90°。因为AE = 4，BE = 3，所以$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}AB·h = 6$。所以AB·h = 12。所以$S_{\square ABCD}=AB·h = 12$。在Rt△ABE中，因为$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$，所以$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}} = 5$。所以□ABCD的周长为AD + BC + DC + AB = DE + CE + DC + AB = 3AB = 15。

10. （22分）如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE = DF.
（1）求证：□ABCD是菱形；
（2）若AB = 10，AC = 12，求□ABCD的面积.

答案： （1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEB = ∠AFD = 90°。在△ABE和△ADF中，$\begin{cases}∠B = ∠D \\ BE = DF \\ ∠AEB = ∠AFD\end{cases}$，所以△ABE≌△ADF。所以AB = AD。所以□ABCD是菱形。 （2）连接BD，交AC于点O。因为□ABCD是菱形，所以AC⊥BD，$AO=\frac{1}{2}AC = 6$，$BO=\frac{1}{2}BD$。在Rt△ABO中，因为$AO^{2}+BO^{2}=AB^{2}$，所以$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}} = 8$。所以BD = 2BO = 16。所以$S_{\square ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×12×16 = 96$。