《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例 2】如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，$\angle BCD = 90°$，$BC = CD = 1$，$AB \perp$ 平面 $BCD$，$\angle ADB = 60°$，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$AD$ 上的动点，且 $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD} = \lambda(0 ＜ \lambda ＜ 1)$.

(1) 判断 $EF$ 与平面 $ABC$ 的位置关系并给予证明.
(2) 是否存在 $\lambda$，使得平面 $BEF \perp$ 平面 $ACD$？如果存在，求出 $\lambda$ 的值；如果不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1) $EF \perp$ 平面 $ABC$. 证明如下：
因为 $AB \perp$ 平面 $BCD$，$BD$，$CD \subset$ 平面 $BCD$，所以 $AB \perp CD$，$AB \perp BD$.
因为在 $\triangle BCD$ 中，$\angle BCD = 90°$，所以 $BC \perp CD$.
又因为 $AB \cap BC = B$，$AB$，$BC \subset$ 平面 $ABC$，所以 $CD \perp$ 平面 $ABC$.
在 $\triangle ACD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AC$，$AD$ 上的动点，且 $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AD} = \lambda(0 ＜ \lambda ＜ 1)$，
所以 $EF // CD$，所以 $EF \perp$ 平面 $ABC$.
(2) 存在 $\lambda = \frac{6}{7}$，使得平面 $BEF \perp$ 平面 $ACD$.
因为 $CD \perp$ 平面 $ABC$，$BE \subset$ 平面 $ABC$，所以 $BE \perp CD$.
因为 $\angle BCD = 90°$，$BC = CD = 1$，所以 $BD = \sqrt{2}$.
在 $Rt\triangle ABD$ 中，$\angle ADB = 60°$，所以 $AB = BD \tan 60° = \sqrt{6}$.
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7}$.
当 $BE \perp AC$ 时，$BE = \frac{AB · BC}{AC} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{42}}{7}$，$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \frac{6\sqrt{7}}{7}$，
则 $\frac{AE}{AC} = \frac{\frac{6\sqrt{7}}{7}}{\sqrt{7}} = \frac{6}{7}$，即 $\lambda = \frac{AE}{AC} = \frac{6}{7}$ 时，$BE \perp AC$.
又因为 $BE \perp CD$，$AC \cap CD = C$，$AC \subset$ 平面 $ACD$，$CD \subset$ 平面 $ACD$，所以 $BE \perp$ 平面 $ACD$.
又因为 $BE \subset$ 平面 $BEF$，所以平面 $BEF \perp$ 平面 $ACD$.
所以存在 $\lambda$，当且仅当 $\lambda = \frac{6}{7}$ 时，平面 $BEF \perp$ 平面 $ACD$.