《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例4】 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，$E$ 为 $CC_1$ 的中点。求证：$EO\perp$ 平面 $A_1DB$。

答案：
分析：解答本题可先证明 $EO\perp A_1D,EO\perp BD$，再由直线与平面垂直的判定定理得出结论。
证明：证法一：如图①，取 $F,G$ 分别为 $DD_1$ 和 $AD$ 的中点，连接 $EF,FG,GO$。
由正方体的性质知 $FG$ 为 $EO$ 在平面 $ADD_1A_1$ 上的射影，$CO$ 为 $EO$ 在平面 $ABCD$ 上的射影。
$\because A_1D\perp FG$，$\therefore A_1D\perp EO$（三垂线定理）。
$\because AC\perp BD$，$\therefore EO\perp BD$（三垂线定理）。又 $\because A_1D\cap BD = D$，$A_1D,BD\subset$ 平面 $A_1DB$，$\therefore EO\perp$ 平面 $A_1DB$。
证法二：如图②，连接 $A_1O,A_1E,A_1C_1$，设正方体的棱长为 $2$。
由正方体的性质知 $CO$ 为 $EO$ 在平面 $ABCD$ 上的射影。
$\because BD\perp OC$，$\therefore BD\perp EO$（三垂线定理）。
$\because EO^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3$，$A_1O^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 6$，
$A_1E^2 = (2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 9$，
$\therefore A_1E^2 = EO^2 + A_1O^2$，$\therefore A_1O\perp EO$。
又 $\because A_1O\cap BD = O$，$A_1O,BD\subset$ 平面 $A_1DB$，$\therefore EO\perp$ 平面 $A_1DB$。