《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例7】 [北京 2022·10,4 分] 在 $ \triangle ABC $ 中，$ AC = 3, BC = 4, \angle C = 90° $。$ P $ 为 $ \triangle ABC $ 所在平面内的动点，且 $ PC = 1 $，则 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} $ 的取值范围是 (D)

A.$ [-5, 3] $
B.$ [-3, 5] $
C.$ [-6, 4] $
D.$ [-4, 6] $

答案： 解析：设 $ AB $ 的中点为 $ D $，则 $ \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} = (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DA}) · (\overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DB}) = \overrightarrow{PD}^2 - \overrightarrow{DA}^2 = \overrightarrow{PD}^2 - \frac{25}{4} $，
由 $ PC = 1 $，可知点 $ P $ 在以点 $ C $ 为圆心，$ 1 $ 为半径的圆上，
$ \therefore |\overrightarrow{PD}| $ 的最大值为 $ |\overrightarrow{DC}| + 1 = \frac{7}{2} $，$ |\overrightarrow{PD}| $ 的最小值为 $ |\overrightarrow{DC}| - 1 = \frac{3}{2} $，
$ \therefore \overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PD}^2 - \frac{25}{4} \in [-4, 6] $。
答案：D