《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例 2】 当实数 $ m $ 取何值时，复平面内表示复数 $ z = m^{2} - 2m + mi $ 的点分别满足下列条件.
(1) 位于虚轴上；
(2) 位于第二象限；
(3) 位于直线 $ -x + y - 2 = 0 $ 上.

答案： 解：
(1) 因为表示复数 $ z = m^{2} - 2m + mi $ 的点在虚轴上，所以 $ m^{2} - 2m = 0 $，
故 $ m = 0 $ 或 $ m = 2 $.
(2) 因为表示复数 $ z = m^{2} - 2m + mi $ 的点位于第二象限，所以 $ \begin{cases} m^{2} - 2m ＜ 0, \\ m ＞ 0, \end{cases} $
故 $ 0 ＜ m ＜ 2 $.
(3) 因为表示复数 $ z = m^{2} - 2m + mi $ 的点位于直线 $ -x + y - 2 = 0 $ 上，
所以 $ -m^{2} + 2m + m - 2 = 0 $，即 $ m^{2} - 3m + 2 = 0 $，解得 $ m = 1 $ 或 $ m = 2 $.

【例 3】 已知复数 $ z_{1} = m + (4 - m^{2})i $，$ m\in \mathbf{R} $，$ z_{2} = 2\cos\theta + (\lambda + 3\sin\theta)i $，$ \lambda\in \mathbf{R} $，$ \theta\in \mathbf{R} $，且 $ z_{1} = z_{2} $，求 $ \lambda $ 的取值范围.

答案： 解：$ \because z_{1} = z_{2} $，$ \therefore \begin{cases} m = 2\cos\theta, \\ 4 - m^{2} = \lambda + 3\sin\theta, \end{cases} $
$ \therefore \lambda = 4 - 4\cos^{2}\theta - 3\sin\theta = 4\sin^{2}\theta - 3\sin\theta = 4\left(\sin\theta - \frac{3}{8}\right)^{2} - \frac{9}{16} $.
$ \because -1\leqslant\sin\theta\leqslant 1 $，$ \therefore -\frac{9}{16}\leqslant\lambda\leqslant 7 $，即 $ \lambda $ 的取值范围为 $ \left[-\frac{9}{16},7\right] $.