《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例5】已知 $ 1 + i $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的一个根（$ b, c $ 为实数）.
（1）求 $ b, c $ 的值；
（2）试说明 $ 1 - i $ 也是该方程的一个根.

答案： 解：（1）因为 $ 1 + i $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx + c = 0 $ 的一个根，
所以 $ (1 + i)^2 + b(1 + i) + c = 0 $，即 $ (b + c) + (2 + b)i = 0 $，
所以 $ \begin{cases} b + c = 0, \\ 2 + b = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b = -2, \\ c = 2. \end{cases} $ 所以 $ b, c $ 的值分别为 $ -2, 2 $.
（2）由（1）知原方程为 $ x^2 - 2x + 2 = 0 $，把 $ 1 - i $ 代入方程左边，得 $ (1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2 = 0 $，
右边 $ = 0 $，所以左边 $ = $ 右边，显然方程成立，
因此 $ 1 - i $ 也是该方程的一个根.