《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例2
如图，在棱长为$a$的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$M$，$N$，$P$分别是棱$A_1B_1$，$A_1D_1$，$A_1A$上的点，且满足$A_1M = MB_1$，$A_1N = 2ND_1$，$A_1P = 3AP$，试求三棱锥$A_1 - MNP$的体积。

答案： 解：$V_{A_1 - MNP} = V_{P - A_1MN} = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × A_1M × A_1N × A_1P = \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2}a × \frac{2}{3}a × \frac{3}{4}a = \frac{1}{24}a^3$。

例3
如图所示，在多面体$ABCDEF$中，已知平面$ABCD$是边长为$3$的正方形，$EF // AB$，$EF = \frac{3}{2}$，$EF$与平面$ABCD$的距离为$2$，则该多面体的体积为。

答案：
解析：
如图所示，分别取$AB$，$CD$的中点$G$，$H$，连接$EG$，$EH$，$EB$，$EC$，$GH$，则有$V_{ABCDEF} = V_{E - ABCD} + V_{E - BCF}$。易知多面体$BCF - GHE$为三棱柱。

$V_{E - ABCD} = \frac{1}{3} × 3^2 × 2 = 6$，$\therefore V_{E - GBCH} = 3$。
$\because V_{E - GBCH} + V_{E - BCF} = V_{BCF - GHE}$，且$V_{E - BCF} = \frac{1}{3}V_{BCF - GHE}$，$\therefore V_{E - BCF} = \frac{1}{2}V_{E - GBCH} = \frac{3}{2}$。$\therefore V_{ABCDEF} = 6 + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$。
答案：$\frac{15}{2}$

例4
四面体$S - ABC$的三组对棱长度分别相等，且依次为$2\sqrt{5}$，$\sqrt{13}$，$5$，求该四面体的体积。

答案： 分析：由三组对棱长度相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长度相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决。