《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例2】$O$为一平面上的定点，$A$，$B$，$C$是该平面上不共线的三点. 若$(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})·(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA})=0$，则$\triangle ABC$是(B)

A.以$AB$为底边的等腰三角形
B.以$BC$为底边的等腰三角形
C.以$AB$为斜边的直角三角形
D.以$BC$为斜边的直角三角形

答案： 解析：设$BC$的中点为$M$，则化简$(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})·(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OA})=0$，得$\overrightarrow{CB}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=0$，即$2\overrightarrow{CB}·\overrightarrow{AM}=0$，即$\overrightarrow{CB}·\overrightarrow{AM}=0$，$\therefore\overrightarrow{CB}\perp\overrightarrow{AM}$，$\therefore AM$是$\triangle ABC$在$BC$边上的高. 又$\because M$为$BC$的中点，$\therefore\triangle ABC$是以$BC$为底边的等腰三角形.
答案：B

【例3】在$\triangle ABC$中，$A=60^{\circ}$，最大边长和最小边长是方程$x^{2}-9x+8=0$的两个正实数根，求$BC$边的长度.

答案：
分析：如图，由于$A=60^{\circ}$，则对应的边$BC$既不是最大边，也不是最小边，故最大边和最小边所夹的角为$A$，根据一元二次方程根与系数的关系及余弦定理求得$BC$边的长度.