《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例6】 已知 $ P $ 是边长为 $ 2 $ 的正六边形 $ ABCDEF $ 内的一点，则 $ \overrightarrow{AP} · \overrightarrow{AB} $ 的取值范围是()
A.$ (-2,6) $
B.$ (-6,2) $
C.$ (-2,4) $
D.$ (-4,6) $

答案：
A
解析：根据定义可知 $ \overrightarrow{AP} · \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|\cos\angle PAB $，其中 $ |\overrightarrow{AP}|\cos\angle PAB $ 表示 $ \overrightarrow{AP} $ 在 $ \overrightarrow{AB} $ 方向上的投影的数量，绘制如图所示的投影图。由图可知，当点 $ P $ 与点 $ C $ 重合时投影的数量最大，而当点 $ P $ 与点 $ F $ 重合时投影的数量最小。已知 $ \overrightarrow{AB} $ 的模为 $ 2 $，又 $ \overrightarrow{AP} $ 在 $ \overrightarrow{AB} $ 方向上投影的数量的取值范围为 $ (-1,3) $，结合向量数量积的定义可知，当点 $ P $ 在正六边形 $ ABCDEF $ 内部运动时，$ \overrightarrow{AP} · \overrightarrow{AB} $ 的取值范围为 $ (-2,6) $。答案：A

【例7】 若 $ \triangle ABC $ 是边长为 $ 1 $ 的等边三角形，$ G $ 是边 $ BC $ 的中点，$ M $ 为线段 $ AG $ 上任意一点，则 $ \overrightarrow{BM} · \overrightarrow{MG} $ 的取值范围是(C)
A.$ [0,\frac{\sqrt{3}}{2}] $
B.$ [0,\frac{3}{4}] $
C.$ [-\frac{3}{4},0] $
D.$ [-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}] $

答案： 分析：根据几何关系结合平面向量的线性运算可得 $ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) $，$ \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MG} $，设 $ \overrightarrow{MG} = \lambda\overrightarrow{AG}(0 \leq \lambda \leq 1) $，利用平面向量数量积的运算律即可求解。