《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例9】 已知函数$f(x)=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}$，其中$\boldsymbol{a}=(2\cos x,-\sqrt{3}\sin 2x)$，$\boldsymbol{b}=(\cos x,1)$，$x\in\mathbf{R}$。
（1）求$f(x)$的单调递增区间；
（2）在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，$f(A)=-1$，$a = \frac{\sqrt{7}}{2}$，且向量$\boldsymbol{m}=(3,\sin B)$与$\boldsymbol{n}=(2,\sin C)$共线，求$b$和$c$的值。

答案： 解：（1）由题意知$f(x)=2\cos^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x=1+\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x=1+2\cos(2x+\frac{\pi}{3})$。
$\because y = \cos x$在$[2k\pi-\pi,2k\pi](k\in\mathbf{Z})$上单调递增，
$\therefore$令$2k\pi-\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$k\pi-\frac{2\pi}{3}\leq x\leq k\pi-\frac{\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$，
$\therefore f(x)$的单调递增区间为$[k\pi-\frac{2\pi}{3},k\pi-\frac{\pi}{6}](k\in\mathbf{Z})$。
（2）$\because f(A)=1+2\cos(2A+\frac{\pi}{3})=-1$，$\therefore\cos(2A+\frac{\pi}{3})=-1$。
又$\because0 ＜ A ＜ \pi$，$\therefore\frac{\pi}{3} ＜ 2A+\frac{\pi}{3} ＜ \frac{7\pi}{3}$，$\therefore2A+\frac{\pi}{3}=\pi$，$\therefore A = \frac{\pi}{3}$。
$\because a = \frac{\sqrt{7}}{2}$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=(b + c)^{2}-3bc=\frac{7}{4}$。
$\because$向量$\boldsymbol{m}=(3,\sin B)$与$\boldsymbol{n}=(2,\sin C)$共线，
$\therefore2\sin B = 3\sin C$，由正弦定理得$2b = 3c$。$\therefore b = \frac{3}{2}$，$c = 1$。