《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到 $ A $ 处时测得公路北侧一山顶 $ D $ 在西偏北 $ 30^{\circ} $ 的方向上(即 $ \angle BAC = 30^{\circ} $)，行驶 $ 300 $ m 后到达 $ B $ 处，测得此山顶在西偏北 $ 75^{\circ} $ 的方向上，仰角为 $ 30^{\circ} $，则此山顶 $ D $ 相对公路所在平面的高度 $ DC = $(C)


A.$ 100\sqrt{3} $ m
B.$ 100 $ m
C.$ 50\sqrt{6} $ m
D.$ 50\sqrt{2} $ m

答案： 解析：由题意得 $ \angle CBA = 180^{\circ}-75^{\circ} = 105^{\circ} $，又 $ \angle BAC = 30^{\circ} $，则 $ \angle ACB = 180^{\circ}-105^{\circ}-30^{\circ} = 45^{\circ} $，而 $ AB = 300 $ m，由正弦定理可得 $ \frac{AB}{\sin\angle ACB} = \frac{BC}{\sin\angle BAC} $，即 $ \frac{300}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2}} $，解得 $ BC = 150\sqrt{2} $ m，由题意知 $ \angle DBC = 30^{\circ} $，$ \angle DCB = 90^{\circ} $，从而 $ DC = BC·\tan\angle DBC = 150\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{6} $ m。故选 C。
答案：C