《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题2 想一想直棱柱、正棱锥、正棱台的表面展开图，其侧面积如何求？

答案： 提示：
直棱柱的侧面展开图是一个矩形，这个矩形的长等于直棱柱底面周长$C$，宽为直棱柱的高$h$，则直棱柱的侧面积$S_{直棱柱侧} = Ch$。
正$n$棱锥的侧面展开图是由$n$个全等的等腰三角形组成的，设正$n$棱锥的底面边长为$a$，底面周长为$C$，斜高为$h'$，则正$n$棱锥的侧面积$S_{正n棱锥侧} = \frac{1}{2}C · h' = \frac{1}{2}nah'$。
正棱台可以看作是用平行于正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形，设正棱台上、下底面边长分别为$a$，$a'$，上、下底面周长分别为$C$，$C'$，斜高为$h'$，则正棱台的侧面积$S_{正棱台侧} = \frac{1}{2}(C + C')h' = \frac{1}{2}n(a + a')h'$。

问题3 根据旋转体的有关公式，如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积？它们的侧面积公式之间有什么联系？

答案： 提示：
要求圆柱的侧面积应已知它的底面圆的半径和它的母线长。要求圆锥的侧面积应已知它的底面圆的半径和母线长。要求圆台的侧面积应已知圆台的上、下两底面圆的半径和母线长。
对于圆台侧面积$S_{圆台侧} = \pi(r + R)l$（$r$，$R$分别为圆台上、下底面圆的半径），当$r = R$时，$S_{圆柱侧} = 2\pi Rl$；当$r = 0$时，$S_{圆锥侧} = \pi Rl$。

问题4 底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积是否相等？

答案： 提示：相等。因为所有柱体的体积公式都是$V_{柱体} = Sh$，所以底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等。

问题5 类比圆柱、圆锥、圆台侧面积之间的联系，比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间有什么关系？

答案：
提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间的关系如图。

$V_{台体} = \frac{1}{3}(S + \sqrt{SS'} + S')h$
当$S' = S$时，$V_{柱体} = Sh$；当$S' = 0$时，$V_{锥体} = \frac{1}{3}Sh$。