《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例2】 如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$AB\perp$ 平面 $PAD$，$AD = AP$，$E$ 是 $PD$ 的中点，$M,N$ 分别在 $AB,PC$ 上，且 $MN\perp AB,MN\perp PC$。求证：$AE// MN$。
证明：因为 $AB\perp$ 平面 $PAD$，$AE\subset$ 平面 $PAD$，所以 $AE\perp AB$。
又 $AB// CD$，所以 $AE\perp CD$。因为 $AD = AP$，$E$ 是 $PD$ 的中点，所以 $AE\perp PD$。
又 $CD\cap PD = D$，$CD,PD\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AE\perp$ 平面 $PCD$。
因为 $MN\perp AB$，$AB// CD$，所以 $MN\perp CD$。
又因为 $MN\perp PC$，$PC\cap CD = C$，$PC,CD\subset$ 平面 $PCD$，
所以 $MN\perp$ 平面 $PCD$，所以 $AE// MN$。

答案： 证明：
∵$AB\perp$平面$PAD$，$AE\subset$平面$PAD$，
∴$AE\perp AB$。
∵底面$ABCD$是矩形，
∴$AB// CD$，
∴$AE\perp CD$。
∵$AD=AP$，$E$是$PD$的中点，
∴$AE\perp PD$。
∵$CD\cap PD=D$，$CD,PD\subset$平面$PCD$，
∴$AE\perp$平面$PCD$。
∵$MN\perp AB$，$AB// CD$，
∴$MN\perp CD$。
∵$MN\perp PC$，$PC\cap CD=C$，$PC,CD\subset$平面$PCD$，
∴$MN\perp$平面$PCD$。
∵$AE\perp$平面$PCD$，$MN\perp$平面$PCD$，
∴$AE// MN$。

【例3】 如图，在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，已知 $AB = 1$，点 $D$ 在棱 $BB_1$ 上，且 $BD = 1$，则 $AD$ 与平面 $BB_1C_1C$ 所成角的正弦值为(分析：取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $AE,DE$，推导出 $AE\perp$ 平面 $BB_1C_1C$，可得出直线 $AD$ 与平面 $BB_1C_1C$ 所成的角为 $\angle ADE$，计算出 $AE,AD$，即可求出 $\sin\angle ADE$。)

A.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 分析：取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $AE,DE$，推导出 $AE\perp$ 平面 $BB_1C_1C$，可得出直线 $AD$ 与平面 $BB_1C_1C$ 所成的角为 $\angle ADE$，计算出 $AE,AD$，即可求出 $\sin\angle ADE$。