《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题8
$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} $ 的符号与两向量的夹角有何关系？

答案： 提示 ① 当 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＜ 0 $ 时，由 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle $ 可知，两向量的夹角是钝角或 $ 180° $。
当 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＞ 0 $ 时，由 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle $ 可知，两向量的夹角是锐角或 $ 0° $。
当 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 (\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} 且 \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}) $ 时，两向量的夹角是 $ 90° $。
② 当两向量夹角 $ \theta = 0° $ 时，$ \cos \theta = 1, \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| $；
当 $ \theta 为锐角时，\cos \theta ＞ 0, \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＞ 0 且 \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} \neq |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| $；
当 $ \theta 为直角时，\cos \theta = 0, \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 $；
当 $ \theta 为钝角时，\cos \theta ＜ 0, \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＜ 0 且 \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} \neq -|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| $；
当 $ \theta = 180° $ 时，$ \cos \theta = -1, \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| $。

问题9
在等边三角形 $ ABC $ 中，向量 $ \overrightarrow{AB} $ 与 $ \overrightarrow{BC} $ 的夹角是 $ 60° $ 吗？

答案：
提示 不是。判断两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同。
如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，向量 $ \overrightarrow{AB} $ 与 $ \overrightarrow{BC} $ 的夹角是 $ 120° $，不是 $ 60° $。

问题10
对于向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} $，等式 $ (\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} $ 一定成立吗？

答案： 提示 不一定成立。向量的数量积不满足结合律，因为 $ (\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} \neq \boldsymbol{0} $ 时，其方向与 $ \boldsymbol{c} $ 的方向相同或相反，$ (\boldsymbol{b} · \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} $ 时，其方向与 $ \boldsymbol{a} $ 的方向相同或相反，而 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 的方向不一定相同，故该等式不一定成立。

问题11
如何理解向量数量积的几何意义？如何理解投影？

答案：
提示 向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘另一个向量在其方向上的投影的数量。这个投影的数量可正、可负、可为零，两个向量的数量积是一个实数。投影是一个变换，它的数量可正、可负、可为零，而不是向量或几何量。如图所示，当$ \theta $为锐角时，$\boldsymbol{b} $在$ \boldsymbol{a} $上的投影的数量为正值；当$ \theta $为钝角时，$\boldsymbol{b} $在$ \boldsymbol{a} $上的投影的数量为负值；当$ \theta $为直角时，$\boldsymbol{b} $在$ \boldsymbol{a} $上的投影的数量为 0；当$ \theta = 0° $时，$\boldsymbol{b} $在$ \boldsymbol{a} $上的投影的数量为 |$\boldsymbol{b}$|；当$ \theta = 180° $时，$\boldsymbol{b} $在$ \boldsymbol{a} $方向上的投影的数量为 -|$\boldsymbol{b}$|。