《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例5】(多选)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列对三角形解的个数的判断正确的是(BC)

A.$a = 7$，$b = 14$，$A = 30^{\circ}$，有两解
B.$a = 30$，$b = 25$，$A = 150^{\circ}$，有一解
C.$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{6}$，$A = 60^{\circ}$，无解
D.$a = 6$，$b = 9$，$A = 45^{\circ}$，有两解

答案： 解析：由正弦定理得$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以$\sin B=\frac{b\sin A}{a}$。
对选项A，$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{14×\frac{1}{2}}{7}=1$，则$B = \frac{\pi}{2}$，只有一解，故A错误；
对选项B，$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{25×\frac{1}{2}}{30}=\frac{5}{12}$，又$a ＞ b$，则只有一解，故B正确；
对选项C，$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{2}＞1$，则无解，故C正确；
对选项D，$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{9×\frac{\sqrt{2}}{2}}{6}=\frac{3\sqrt{2}}{4}＞1$，则无解，故D错误。
答案：BC

【例6】 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$b\cos C + c\cos B = a\sin C$，则$\triangle ABC$的形状是直角三角形。

答案： 分析：方法一：由正弦定理边角互化得$\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin A\sin C$，进而整理得$\sin C$的值，得到$C$的大小，即可得答案。
方法二：观察左边的式子，易得$b\cos C + c\cos B = a = a\sin C$，得到$\sin C$的值，即可解题。