《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题1
设 $ \{e_1,e_2\} $ 是平面向量的一个基底，则 $ e_1,e_2 $ 中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？

答案： 提示 平面向量基本定理的前提条件是 $ e_1,e_2 $ 不共线。若 $ e_1,e_2 $ 中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故 $ e_1,e_2 $ 中不可能有零向量。在同一平面内，向量的基底可以不同，只要它们不共线即可。

问题2
表示向量的有向线段平移后，起点坐标和终点坐标发生了变化，该向量的坐标会变化吗？

答案： 提示 表示向量的有向线段平移后，该向量的坐标不变。因为向量的坐标是表示此向量的有向线段的终点坐标与起点坐标的差。不管表示两个向量的有向线段的起点在什么位置上，若这两个向量相等，则它们对应的坐标相等。平面向量与它的坐标之间是一一对应关系，即若向量确定，则坐标唯一；若坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一。

问题3
当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？

答案： 提示 方法一：设两个非零共线向量 $ a = (x_1,y_1) $，$ b = (x_2,y_2) $。
当 $ x_1 = x_2 = 0 $ 时，若 $ y_1y_2 ＞ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 同向共线；若 $ y_1y_2 ＜ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 反向共线。
当 $ y_1 = y_2 = 0 $ 时，若 $ x_1x_2 ＞ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 同向共线；若 $ x_1x_2 ＜ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 反向共线。
当 $ x_1,x_2,y_1,y_2 $ 均不为 $ 0 $ 时，若 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} ＞ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 同向共线；若 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} ＜ 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 反向共线。
方法二：若非零向量 $ a $ 与 $ b $ 共线，则存在非零实数 $ \lambda $，使得 $ a = \lambda b $。当 $ \lambda ＞ 0 $ 时，$ a $ 与 $ b $ 同向共线；当 $ \lambda ＜ 0 $ 时，$ a $ 与 $ b $ 反向共线。

问题4
若 $ a = (x_1,y_1) $，$ b = (x_2,y_2) $，则 $ a // b \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0 $，是否对于任意两向量都成立？还需要注明 $ a \neq 0 $ 吗？

答案： 提示 在向量共线定理中，$ a // b \Leftrightarrow b = \lambda a(\lambda \in \mathbf{R}) $ 必须注明 $ a \neq 0 $，而在本问题中，当 $ a = 0 $ 时也成立，故不需要注明 $ a \neq 0 $。