《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例 1】如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 2$，点 $E$ 在线段 $AB$ 上，且 $BE = 1$，将$\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使得平面 $A_1DE \perp$ 平面 $BCDE$，连接 $A_1C$，$CE$.

(1) 求证：$CE \perp$ 平面 $A_1DE$.
(2) 线段 $A_1C$ 上是否存在一点 $F$，使得 $BF //$ 平面 $A_1DE$？请说明理由.

答案：

(1)证明：在矩形$ABCD$中，$AB=5$，$AD=2$，$E$在线段$AB$上，$BE=1$，则$AE=AB-BE=4$。$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CD=AB=5$。因为$DE^2+CE^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=25=CD^2$，所以$CE\perp DE$。又平面$A_1DE\perp$平面$BCDE$，平面$A_1DE\cap$平面$BCDE=DE$，$CE\subset$平面$BCDE$，故$CE\perp$平面$A_1DE$。
(2)解：存在点$F$（$A_1C$的五等分点且靠近点$A_1$），使得$BF//$平面$A_1DE$。理由如下：在$CD$上取点$M$，使$DM=1=BE$，连接$BM$。因为$DM// BE$，所以四边形$DMBE$为平行四边形，因此$BM// DE$。由于$DE\subset$平面$A_1DE$，$BM\not\subset$平面$A_1DE$，所以$BM//$平面$A_1DE$。在$\triangle A_1DC$内，作$MF// A_1D$交$A_1C$于点$F$，连接$FB$。因为$MF\not\subset$平面$A_1DE$，$A_1D\subset$平面$A_1DE$，所以$MF//$平面$A_1DE$。又$MF\cap BM=M$，$MF$，$BM\subset$平面$FMB$，故平面$FMB//$平面$A_1DE$。因为$BF\subset$平面$FMB$，所以$BF//$平面$A_1DE$。由于$MF// A_1D$，则$\frac{A_1F}{A_1C}=\frac{DM}{CD}=\frac{1}{5}$，即$F$为$A_1C$的五等分点且靠近$A_1$。