《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例1】 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。已知$A = 60^{\circ}$，$a = \sqrt{3}$，$b = 1$，则$c =$(B)

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{3}-1$
D.$\sqrt{3}$

答案： 解析：由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{1}{\sin B}$，$\therefore\sin B=\frac{1}{2}$，$\therefore B = 30^{\circ}$或$B = 150^{\circ}$。由$a ＞ b$，得$A ＞ B$，$\therefore B = 30^{\circ}$，$\therefore C = 90^{\circ}$。由勾股定理得$c = 2$。
答案：B

【例2】 在$\triangle ABC$中，$a$，$b$，$c$分别是三个内角$A$，$B$，$C$的对边。若$a = 2$，$C = \frac{\pi}{4}$，$\cos\frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求$\sin A$和$c$。

答案： 在$\triangle ABC$中，已知$a=2$，$C=\frac{\pi}{4}$，$\cos\frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
1. 求$\cos B$和$\sin B$：
由二倍角公式$\cos B=2\cos^2\frac{B}{2}-1$，代入$\cos\frac{B}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得：
$\cos B=2×\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 - 1=2×\frac{4}{5}-1=\frac{3}{5}$。
又$\sin^2B+\cos^2B=1$，且$B\in(0,\pi)$，则$\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}$。
2. 求$\sin A$：
由三角形内角和$A=\pi-B-C$，$C=\frac{\pi}{4}$，得$A=\frac{3\pi}{4}-B$。
则$\sin A=\sin\left(\frac{3\pi}{4}-B\right)=\sin\frac{3\pi}{4}\cos B-\cos\frac{3\pi}{4}\sin B$。
代入$\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos B=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$，得：
$\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)×\frac{4}{5}=\frac{3\sqrt{2}}{10}+\frac{4\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$。
3. 求$c$：
由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$。
代入$a=2$，$\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin A=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，得：
$c=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}=\frac{10}{7}$。
结论：$\sin A=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$c=\frac{10}{7}$。