《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例3 如图，在正四棱台$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$A_1B_1 = a$，$AB = 2a$，$AA_1 = \sqrt{2}a$，$E$，$F$分别是$AD$，$AB$的中点。求证：平面$EFB_1D_1//$平面$BDC_1$。
证明：如图，连接$A_1C_1$，交$B_1D_1$于点$M$，连接$AC$分别交$EF$，$BD$于点$N$，$P$，连接$MN$，$PC_1$。

由题意知$BD//B_1D_1$。又因为$BD⊄$平面$EFB_1D_1$，$B_1D_1⊂$平面$EFB_1D_1$，
所以$BD//$平面$EFB_1D_1$。
因为$A_1B_1 = a$，
所以$MC_1 = \frac{1}{2}A_1C_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
因为$E$，$F$分别是$AD$，$AB$的中点，$AB = 2a$，
所以$NP = \frac{1}{4}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，所以$MC_1 = NP$。
又因为$AC//A_1C_1$，所以$MC_1//NP$，
所以四边形$MC_1PN$为平行四边形，
所以$PC_1//MN$。
又因为$PC_1⊄$平面$EFB_1D_1$，$MN⊂$平面$EFB_1D_1$，
所以$PC_1//$平面$EFB_1D_1$。
又因为$PC_1∩BD = P$，所以平面$EFB_1D_1//$平面$BDC_1$。

答案： 证明：连接$A_1C_1$交$B_1D_1$于点$M$，连接$AC$分别交$EF$、$BD$于点$N$、$P$，连接$MN$、$PC_1$。
∵正四棱台$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，上下底面为正方形，
∴$BD// B_1D_1$。
∵$BD\not\subset$平面$EFB_1D_1$，$B_1D_1\subset$平面$EFB_1D_1$，
∴$BD//$平面$EFB_1D_1$。
∵$A_1B_1 = a$，四边形$A_1B_1C_1D_1$为正方形，
∴$A_1C_1=\sqrt{2}a$，则$MC_1=\frac{1}{2}A_1C_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。
∵$E$、$F$分别为$AD$、$AB$中点，$AB = 2a$，
∴$EF// BD$（中位线性质），$AC=\sqrt{2}×2a=2\sqrt{2}a$。
∵$P$为$AC$与$BD$交点（正方形对角线交点），
∴$AP=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$。
∵$EF// BD$，
∴$\frac{AN}{AP}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$，则$AN=\frac{1}{2}AP=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$NP=AP - AN=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，故$MC_1=NP$。
∵正四棱台上下底面平行，
∴$AC// A_1C_1$，即$NP// MC_1$。
∵$MC_1=NP$且$MC_1// NP$，
∴四边形$MC_1PN$为平行四边形，
∴$PC_1// MN$。
∵$PC_1\not\subset$平面$EFB_1D_1$，$MN\subset$平面$EFB_1D_1$，
∴$PC_1//$平面$EFB_1D_1$。
∵$BD\cap PC_1=P$，$BD//$平面$EFB_1D_1$，$PC_1//$平面$EFB_1D_1$，
∴平面$EFB_1D_1//$平面$BDC_1$。